×

On a geometrical proof of Jacobi’s \(\vartheta\)-formula. (English) JFM 25.0812.01

Die vorliegende Abhandlung besteht aus zwei selbständigen Untersuchungen. Die erste enthält eine Ableitung der Riemann’schen Thetaformel auf folgender Grundlage. Versteht man unter \(u\), \(u_1\), ..., \(u_4\) unabhängige Variabeln, setzt \(u_1+\cdots+u_4=k\) und definirt \(g(u)\) durch die Gleichung: \[ \sigma(2u + \frac12k)g(u) = \sigma(u + u_1)\dots\sigma(u + u_4), \] so ist die Function: \[ \varphi(u) = g(u) + g(u+\omega) + g(u+\omega') + g(u+\omega+\omega') \] eine doppeltperiodische Function von \(u\) mit den Perioden \(\omega\), \(\omega'\), welche sich, da in jedem ihrer Periodenparallelogramme nicht mehr als ein einziger \(\infty^1\)-Punkt existirt, als eine Constante \(f\) erweist. Bestimmt man durch passende Verfügung über die \(u\) diese Constante \(f\) und setzt den gefundenen Wert in die Gleichung \(\varphi(u)=f\) ein, so geht dieselbe in die Riemann’sche Thetaformel über. In der zweiten Untersuchung wird sodann gezeigt, dass der Riemann’schen Thetaformel ein geometrischer Satz über die Curven dritter Ordnung entspricht, welche in einem ihrer Punkte so von vier Kegelschnitten berührt werden, dass die Systeme der jedesmal übrigen vier Schnittpunkte Systeme correspondirender Punkte in Maclaurin’schem Sinne sind. Setzt man diesen Satz als geometrisch bewiesen voraus, so kann er umgekehrt zum Beweise der Riemann’schen Thetaformel dienen.
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML

References:

[1] V. Briot et Bonquet Theorie des Fonctions Elliptiques. Paris 1875. S. 497.
[2] See Salmon’s ?Higher plane Curves?.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.