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Recherches sur les fonctions de Fourier-Bessel. (French) JFM 25.0846.01
Entwickelt man den Ausdruck \(e^{\frac z2\left(t-\frac1t\right)}\) nach steigenden und fallenden Potenzen von \(t\), so sind die Coefficienten bekanntlich Bessel’sche Functionen. Andererseits kann man auf jenen Ausdruck auch den Satz von Laurent anwenden. Die Vergleichung beider Entwickelungen giebt \[ J_n(z) = \frac1{2\pi i} \int e^{\frac z2\left(t-\frac1t\right)}\frac{dt}{t^{n+1}} = \frac{(-1)^n}{2\pi i} \int e^{\frac z2\left(t-\frac1t\right)}t^{n-1}dt, \] wobei die Integrale in der complexen Ebene \(t\) über einen beliebigen um den Punkt \(t=0\) beschriebenen Kreis zu erstrecken sind.
Der Verfasser zeigt, wie sich aus den vorstehenden Ausdrucken unmittelbar die Recursionsformeln der \(J_n\) ergeben; er benutzt dieselben Ausdrücke sodann zur Summation mehrerer bekannter, nach Bessel’schen Functionen fortschreitender Reihen. Wir erwähnen darunter die Reihe \[ 1 + 2J_1(z) + 2J_2(2z) + 2J_3(3z) +\cdots = \frac1{1-z}, \] deren Gültigkeit hier für beliebige complexe \(z\) innerhalb einer gewissen geschlossenen Curve \(C\) bewiesen wird, die in Bezug auf die reelle und imaginäre Axe symmetrisch liegt. Die Bestimmung des Convergenzbereiches erfordert eine längere Erörterung, auf die hier nicht näher eingegangen werden kann.
Der zweite Teil der Arbeit behandelt die Entwickelung einer holomorphen Function nach Bessel’schen Functionen, sowie die einer geraden Function nach Quadraten dieser Functionen. Zu neuen Resultaten gelangt der Verfasser hier nicht, sondern giebt lediglich eine andere Ableitung der bereits von Herrn C. Neumann aufgestellten Formeln [vgl. C. Neumann, Theorie der Bessel’schen Functionen, 1867, \(2^{\text{ter}}\) Abschnitt, sowie Leipzig. Ber. 1869, F. d. M. II. 1869-1870. 255, JFM 02.0255.03]. Der Gang der Ableitung ist folgender. Die von Herrn Neumann mit \(O_n\) bezeichnete Function lässt sich durch ein Integral darstellen (vgl. darüber Sonine, Math. Ann. XVI. S. 7). Nach Einführung dieses Integrals lässt sich die Reihe \[ \sum_0^\infty \varepsilon_n O_n(t)J_n(z)\qquad(\varepsilon_0=1,\, \varepsilon_1 = \varepsilon_2 =\cdots= \varepsilon_n =\cdots= 2) \] summiren, und die Summe wird \(\frac1{t-z}\). Hieraus folgt sofort die Entwickelung einer holomorphen Function \(f(z)\). — Bei der zweiten Entwickelung tritt an Stelle der Function \(O\) eine andere, von Neumann mit \(\Omega\) bezeichnete Function. Für diese leitet der Verfasser, und das ist neu, folgenden Zusammenhang mit der Function \(O_n\) her. Es ist \[ \Omega_n(z) = -\frac d{dz} \int_0^\pi O_{2n}\left(\frac{2z}{\sin w}\right)dw. \] Mittels dieser Formel und der bekannten \[ [J_n(z)]^2 = \frac1{\pi}\int_0^\pi J_{2n}(2z\sin w)dw \] lässt sich die Summation der Reihe \[ \sum_0^\infty \varepsilon_n\Omega_n(t)J_n^2(z) \] auf die der vorher betrachteten Reihe zurückführen und man findet nach Ausführung einiger Rechnungen \[ \sum_0^\infty \varepsilon_n\Omega_n(x)J_n^2(z) = \frac1{t^2-z^2}. \] Im letzten Abschnitt wird die Entwickelung einer holomorphen Function \(f(z)\) in eine Reihe von folgender Form untersucht: \[ f(z) = \alpha_0 + \alpha_1J_1(z) + \alpha_2J_2(2z) + \alpha_3J_3(3z) +\cdots. \] Es ergiebt sich, dass \(\alpha_0=f(0)\), während die Coefficienten \(\alpha_n\) die Residuen von \(\varepsilon_n(z)\bar O_n(z)f(z)\) in Bezug auf den Pol \(z=0\) sind. Dabei ist \[ \begin{split} \varepsilon_n(z)\bar O(z) = \frac{2^nn!}{n^nz^{n+1}}\left\{1 + \frac{(n-2)^2}{2(2n-2)}z^2 + \frac{n^2(n-4)^2}{2.4.(2n-2)(2n-4)}z^4\right.\\ + \left. \frac{n^4(n-6)^2}{2.4.6(2n-2)(2n-4)(2n-6)}z^6 +\cdots\right\},\end{split} \] und zwar bricht die Reihe in der Parenthese bei \(z^{n-2}\) oder \(z^{n-1}\) ab. Zwischen der hier auftretenden Function \(\bar O_n(z)\) und der Neumann’schen Function \(On\) finden verschiedene Beziehungen statt, von denen die wichtigste lautet: \[ \bar O_n(z) = \frac12(1-\cos n\pi) + \frac z2(1+\cos n\pi) + n(1-z^2)O_n(nz). \] Aus diesen allgemeinen Sätzen folgt die schon oben erwähnte Reihe für \(\frac1{1-z}\), andererseits die Reihe \[ \begin{split} z^n = 2^2n^2\left\{(n-1)!\frac{J_n(nz)}{n^{n+1}} + n!\frac{J_{n+2}[(n+2)z]}{(n+2)^{n+1}}\right.\\ + \left. \frac{(n+1)!}{2!}\frac{J_{n+4}[(n+4)z]}{(n+4)^{n+1}} +\cdots\right\},\end{split} \] deren Convergenzbereich mit dem der Reihe für \(\frac1{1-z}\) zusammenfällt. Endlich ist \[ \sum_0^\infty \varepsilon_n \bar O_n(t)J_n(nz) = \frac1{t-z}, \] wo \(t\geqq1\), \(z\) innerhalb einer gewissen geschlossenen Curve, die ganz im Innern des Kreises mit dem Radius 1 liegt.

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Full Text: DOI Numdam EuDML