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Sur une extension de la formule de Stirling. (French) JFM 25.0851.01

Der Verfasser stellt sich die Aufgabe, für \(\log[\Gamma(a+\xi)\Gamma(a+1-\xi)]\), wo \(a\) eine grosse Zahl und \(\xi\) eine zwischen 0 und 1 gelegene Zahl ist, eine Reihenentwickelung herzuleiten, aus welcher sich die bekannten Reiben von Stirling und Gauss als specielle Fälle (\(\xi=0\) und \(\xi=\frac12\)) ergeben. Von dem Raabe’schen Integrale ausgehend, findet er \[ \begin{split} \log[\Gamma(a + \xi)\Gamma(a + 1 - \xi)] = 2(a\log a-a+\log\sqrt2\pi)\\ + \int_{-\infty}^0\left[\frac{e^{\xi x}+e^{(1-\xi)x}}{e^x-1} - \frac2x\right] \frac{e^{ax}}x dx.\end{split} \] Bezeichnet man das Integral auf der rechten Seite mit \(2J(a)\), so ergiebt sich weiter die halbconvergente Reihe: \[ 2J(a) = \sum_{\nu=1}^{\nu=n} \frac{2\nu S_{2\nu-1}(\xi) + (-1)^{\nu-1}B_\nu}{\nu(2\nu-1)a^{2\nu-1}} + R, \] in welcher die \(B_\nu\) die Bernoulli’schen Zahlen und die \(S_\nu\) die Entwickelungscoefficienten von \(x\) in \[ \frac{e^{\xi x}-1}{e^x-1} = \xi + \sum_{\nu=1}^{\nu=\infty} S_\nu(\xi) \frac{x^\nu}{\nu!} \] bezeichnen: Das Restglied \(R\) ist durch das Integral gegeben: \[ R = \frac{(-1)^{n+1}}{\pi} \int_{-\infty}^0 \frac{x^{2n}\log(1-2\cos2\pi\xi.e^{2\pi x} + e^{4\pi x})}{\alpha^{2n-1}(x^2+a^2)}dx. \] Der Logarithmus unter dem Integralzeichen ändert in dem ganzen Integrationsintervalle sein Zeichen nicht, wenn \(\xi<\frac16\) ist; oder wenn \(\xi\) zwischen den Grenzen \(\frac14\) und \(\frac34\) liegt. In diesen Fällen nimmt das Restglied den einfachen Wert an: \[ \begin{split} R = \frac{(-1)^{n+1}\varepsilon}{\pi} \int_{-\infty}^0 \frac{x^{2n}\log(1-2\cos2\pi\xi.e^{2\pi x} + e^{4\pi x})}{a^{2n+1}}dx\\ = \varepsilon\frac{(2n+2)S_{2n+1}(\xi) + (-1)^nB_{n+1}}{(n+1)(2n+1)a^{2n+1}},\end{split} \] wo \(\varepsilon\) ein positiver echter Bruch ist. Diese Entwickelung für \(\log[\Gamma(a+\xi)\Gamma(a+1-\xi)]\) hat also in diesen Fällen denselben analytischen Charakter, wie die Gauss’sche und Stirling’sche Reihe: Bricht man die Reihe mit irgend einem Gliede ab, so giebt das folgende Glied die obere Grenze für das Restglied.
Zum Schlusse erwähnt der Verfasser, dass sich diese Entwickelung auch mit Hülfe einer von Stieltjes (Journ. de Math. V. 425) gegebenen Relation herleiten lässt. Daran anknüpfend, giebt er für das Integral \(J(a)\) noch die Reihe: \[ J(a) = \sum_{n=0}^{n=\infty} \varphi(a+n), \] wo \[ \varphi(a) = a\log\frac{a+1}a + \frac12\log\frac{a+1}{a+\xi} + \frac12\log\frac{a+1}{a+1-\xi} -1 \] ist. Für \(\xi=0\) ergiebt sich aus dieser Reihe die von Gudermann gegebene Reihenentwickelung.

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