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Die Raumcurve sechster Ordnung vom Geschlechte 1 als Erzeugnis trilinearer Grundgebilde. (German) JFM 25.0973.01
Die Untersuchungen des Verfassers über die trilineare Verwandtschaft (Math. Ann. XLIV. 375-412, s. das vorangehende Referat, JFM 25.0972.03) werden hier fortgesetzt, aber mit dem Ziele, die Erzeugnisse trilinearer Grundgebilde zu studiren. Zunächst werden die \(\infty^1\) gemeinsamen Tripel zweier trilinealen Beziehungen, deren Gesamtheit als “bicursale Tripelreihe” bezeichnet wird, betrachtet und ihre Eigenschaften untersucht; dabei ergiebt sich, dass die Strahlentripel, welche die Punkte einer ebenen Curve dritter Ordnung mit drei festen Punkten derselben verbinden, ebenso wie die Ebenentripel, welche die Punkte einer Raumcurve vierter, fünfter, sechster Ordnung vom Geschlechte 1 aus resp. drei ihrer Bi-, Tri-, Quadri-Secanten projiciren, Tripelreihen der betrachteten Art bilden, so dass man auf diesem Wege zu einer gemeinsamen Erzeugung dieser einfachsten ebenen, wie räumlichen elliptischen Curven gelangt. Der zweite Paragraph beschäftigt sich mit den Eigenschaften der sechs gemeinsamen Tripel dreier trilinearen Beziehungen, welche ein merkwürdiges und bisher wohl wenig untersuchtes System associirter Elemente in dem Sinne bilden, dass jede trilineare Beziehung, welcher fünf oder sechs Tripel angehören, auch das sechste Tripel enthält, so dass durch fünf dieser Tripel das sechste eindeutig bestimmt ist. Für dieses sechste, eindeutig bestimmte Tripel wird eine einfache lineare Construction angegeben und gezeigt, dass die wichtigen associirten Systeme, die von den neun Schnittpunkten zweier Curven dritter Ordnung, von den acht Schnittpunkten dreier Flächen zweiter Ordnung, von den sechs gemeinsamen Nullpaaren von vier Reciprocitäten u. s. w. gebildet werden, sämtlich auf das hier betrachtete System von sechs associirten Tripeln zurückführbar sind, so dass sich für alle diese geometrischen Abhängigkeiten das letzte durch die übrigen eindeutig bestimmte Element durch unsere Construction des sechsten associirten Tripels auffinden lässt, und daher alle diese Constructionen auf eine einzige sich reduciren lassen.
Die beiden letzten Paragraphen verwenden die erlangten Resultate für die Untersuchung der Raumcurven sechster Ordnung vom Geschlechte 1, \(\operatorname{Re}_6^1\). Man erkennt, dass ebenso, wie für die Raumcurven vierter Ordnung erster Art die vier Spitzen der sie enthaltenden Kegel, auch für die \(\operatorname{Re}_6^1\) vier Hauptpunkte auftreten, welche eine wichtige Rolle in der Geometrie der \(\operatorname{Re}_6^1\) zu spielen berufen sind. Durch jeden dieser vier Hauptpunkte \(S_i\) \((i=1, 2, 3, 4)\) gehen drei Trisecanten von \(\operatorname{Re}_6^1\), und jeder Punkt \(S_i\) ist Doppelpunkt einer die \(\operatorname{Re}_6^1\) enthaltenden kubischen Fläche. Es sind aber auch gleichzeitig die vier Punkte \(S_i\) die dreifachen Punkte von vier Steiner’schen FIächen, auf welchen \(\operatorname{Re}_6^1\) gelegen ist, und deren drei Doppelgerade durch die drei durch den betreffenden Hauptpunkt gehenden Trisecanten von \(\operatorname{Re}_6^1\) gebildet werden. Aus dem Studium der auf \(\operatorname{Re}_6^1\) befindlichen Systeme von sechs associirten Punkten ergiebt sich ferner, dass jedem Hauptpunkt ein System von Punkttripeln auf \(\operatorname{Re}_6^1\) zugeordnet ist, und dass diese vier Tripelsysteme auf \(\operatorname{Re}_6^1\) dieselbe wichtige Rolle spielen, wie die vier Tripelsysteme auf der ebenen Curve dritter Ordnung, welche von den Punkttripeln gebildet werden, in welchen die Geraden der Ebene die \(C_3\) schneiden, und in welchen Kegelschnitte die \(C_3\) (dreimal) berühren, so dass man zu einer weitgehenden Analogie der Geometrie auf der \(\operatorname{Re}_6^1\) und der \(C_3\) geführt wird, und zwar bewegt sich diese Analogie in einer Richtung, die wir bei den elliptischen Raumcurven vierter und fünfter Ordnung noch nicht vorfinden. Zuletzt wird das Problem der Auffindung der Tritangentialebenen, d. h. derjenigen Ebenen, welche \(\operatorname{Re}_6^1\) in drei verschiedenen Punkten berühren, und welche in endlicher Anzahl vorhanden sein müssen, behandelt. Dieses Problem, welches im Raume dem Problem der Doppeltangenten ebener Curven entspricht, führt zu dem interessanten Ergebnis, dass genau 16 Tritangentialebenen von \(\operatorname{Re}_6^1\) existiren, welche sich (den vier Hauptpunkten entsprechend) in vier Gruppen anordnen lassen. Die vier Tetraeder, deren Seitenflächen von den Tritangentialebenen derselben Gruppe gebildet werden, sind nichts anderes als die Tetraeder der Doppelebenen der vier die \(\operatorname{Re}_6^1\) enthaltenden Steiner’schen Flächen, ein Zusammenhang, welcher eine Reihe wichtiger Eigenschaften von \(\operatorname{Re}_6^1\) erschliesst.
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References:
[1] cf. Math. Ann. Bd. 44, p. 375?412. Diese Arbeit werde fortan mit ?T. V.? citirt.
[2] cf. Le Paige et M. F. Folie: Mémoire sur les courbes de troisième ordre, Mém. de l’acad. roy. de Belg. Tome 45. · JFM 14.0605.02
[3] cf. Sturm: Flächen III. Ordnung, p. 201 und 222.
[4] cf. Emil Weyr: Ueber Raumcurven 6ter Ordnung vom Geschlechte 1; Sitzungsberichte der Wiener Academie, Mathem. naturw. Classe, Bd. 99, 1890, p. 936), sowie Nöther: Zur Grundlegung der Theorie der alg. Raumcurven, § 16, Abh. d. Berl. Acad. 1882.
[5] cf. Sturm: Flächen III. Ordnung: Capitel V, 66, ? p. 211; unter den dort aufgeführten Fall subsumirt sich, wie man leicht erkennt, der hier betrachtete speciellere; im Uebrigen ergiebt sich, daR T 2 , wie in (2) gezeigt, sich auf die ebeneC 8 abbilden lässt, dass auch die Punkte der hier auftretenden Raumcurve 5ter O. sich auf die Punkte einer ebenenC 3 umkehrbar eindeutig beziehen lassen, so dass also das Geschlecht vonR 5 jedenfalls=1 ist.
[6] cf. Sturm: l. c. p. 234. Flächen III. Ordnung: Capitel V, 66, ?
[7] cf. Sturm: Combien y a-t-il de sécantes communes à deux cubiques gauches? Annali di matematica. Serie II, Tome III, art. VII, p. 90.
[8] cf. Schröter: Ebene Curven III. Ordnung, Leipzig 1888, p. 268.
[9] cf. Le Paige et M. Folie: Mémoire sur les courbes de IIIième ordre; Belg. Acad. Mém. Tom. 45.
[10] cf. Grassmann: Lineale Ausdehnungslehre, Leipzig 1844, sowie: Clebsch-Lindemann: Vorlesungen über Geometrie, I, p. 536.
[11] Le Paige: Essay d’une géom. supér. de IIIième Ordre, Bull. de la soc. des scienc. de Liège (1883).
[12] Auch auf dem directen Wege der Rechnung ergiebt sich diese Thatsache, cf. Rosanes: Cr. Journ. Bd. 88, p. 270.
[13] cf. Rosanes, l. c. Cr. Journ. Bd. 88, p. 270.
[14] cf. Rosanes: Cr. Journ. Bd. 88, p. 273.
[15] cf. Rosanes: Cr. Journ. Bd. 88, p. 248.
[16] cf. Rosanes: Cr. Journ. Bd. 88. p. 249.
[17] cf. Reye: Sopra le curve gobbe di quart’ordine e prima specie etc. etc. Annali di matem. Serie II. Tom. II, p. 129.
[18] cf. Thomae: Die Kegelschnitte in project. Behandlung. Halle 1884, p. 30.
[19] cf. Em. Weyr: Die Raumcurve 6ter O. vom Geschlecht 1. IIte Mittheilung, Sitzungsber. der k. Akademie zu Wien 1891. Art. 1 ff.
[20] cf. Weyr, l. c. Die Raumcurve 6ter O. vom Geschlecht 1. IIte Mittheilung, Sitzungsber. der k. Akademie zu Wien 1891. Art. 1 ff.
[21] cf. Clebsch-Lindemann: Vorlesungen über Geometrie Bd.I. p. 431.
[22] cf. Clebsch-Lindemann: l. c. Vorlesungen über Geometrie Bd.I, p. 432.
[23] cf. Reye: Sopra le curve gobbe di quart’ ordine e prima specie; Annali di matem. Ser. II. Tome II.
[24] cf. Weyr: Ueber Raumcurven 5ter O. vom Geschlechte 1; IIIte Mittheilung. Sitzungsber. der Wiener Academie 1888, p. 606.
[25] cf. Weyr: Ueber die Anzahl dern-fachen Elemente einerJ n-1 n etc. Monatshefte für Mathematik und Physik. II. Jahrgang, Wien 1891. · JFM 23.0646.02
[26] cf. Weyr: Ueber die Raumcurven 5ter O. vom Geschlecht 1; Ite Mittheilung; Wiener Sitzungsberichte 1884 p. 213.
[27] cf. Schröter: Theorie der ebenen Curven III. O., Leipzig 1886, p. 274.
[28] cf. Steiner: Systematische Entwicklung etc. Berlin 1832, pag. 254 ff.; Durège: Curven III. O. pag. 121.
[29] cf. Schröter-Steiner: Vorlesungen über synthetische Geometrie, p. 312 ff.
[30] cf. Reye: Geometrie der Lage IIter Ord., 2te Auflage, p. 240; Cremona: Rappresentatione della superficie di Steiner etc. sopra un piano, Rendiconti R. Instituto-Lombardo 1867. Clebsch: Cr. Journal Bd. 67; vergl. auch Sturm: Liniengeometrie Bd. II, p. 275.
[31] cf. Sturm: Ueber die römische Fläche von Steiner, Math. Annalen Bd. III, p. 86. · JFM 02.0439.01
[32] cf. Sturm l. c. Ueber die römische Fläche von Steiner, Math. Annalen Bd. III, p. 88.
[33] cf. Sturm l. c. Ueber die römische Fläche von Steiner, Math. Annalen Bd. III, p. 88.
[34] cf. Sturm, l. c. Ueber die römische Fläche von Steiner, Math. Annalen Bd. III, p. 85. · JFM 02.0439.01
[35] cf. Sturm, l. c. Ueber die römische Fläche von Steiner, Math. Annalen Bd. III, p. 89. · JFM 02.0439.01
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