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Sur les points d’une conique situés sur un même cercle. (French) JFM 25.1121.03
Nouv. Ann. (3) XIII. 386-394 (1894).
Hat man vier Punkte der Ellipse, die auf einem Kreise liegen, und sind \(\varphi_1\), \(\varphi_2\), \(\varphi_3\), \(\varphi_4\) ihre excentrischen Winkel (so dass also \(x_1=a\cos\varphi_1\) und \(y_1=b\sin\varphi_1\)), so hat man die Gleichung: \(\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3+\varphi_4=2m\pi\), wo \(m\) irgend eine ganze Zahl ist, auch Null sein kann. Aus dieser Beziehung werden mehrere Eigenschaften hergeleitet. Sind \(\varphi_1\), \(\varphi_2\), \(\varphi_3\), \(\varphi_4\) im obigen Sinne vier Kreispunkte der Ellipse; ferner \(\varphi_1'\) der Punkt, in welchem der in \(\varphi_1\) osculirende Kreis die Ellipse weiter trifft; analog \(\varphi_2'\), \(\varphi_3'\), \(\varphi_4'\), so ist: \[ 3\varphi_1 + \varphi_1' = 2m\pi,\;3\varphi_2 + \varphi_2' = 2m'\pi, \] \[ 3\varphi_3 + \varphi_3' = 2m''\pi,\;3\varphi_4 + \varphi_4' = 2m'''\pi, \] und addirt man, so kommt: \[ 6\mu\pi + \varphi_1' + \varphi_2' + \varphi_3' + \varphi_4' = 2M\pi. \] Also liegen die vier Punkte \(\varphi_1'\), \(\varphi_2'\), \(\varphi_3'\), \(\varphi_4'\) auch auf einem Kreise. Dieser Satz wird dann durch Transformation mittels reciproker Radien auf unicursale Curven dritten und vierten Grades übertragen. Nachher werden \(\varphi_1\), \(\varphi_2\), \(\varphi_3\), \(\varphi_4\) entweder alle oder zum Teil durch \(\varphi_1+\pi\), \(\varphi_2+\pi\), \(\varphi_3+\pi\), \(\varphi_4+\pi\) ersetzt und ähnliche Sätze aufgefunden.
Full Text: EuDML