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Construction du cercle osculateur en un point d’une hyperbole. (French) JFM 25.1122.02
Nouv. Ann. (3) XII. 451-453 (1893).
Die Gleichung einer Hyperbel habe die Form: \[ Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0, \] die Summe der drei ersten Terme sei \(\varphi(x,y)\), also: \[ \varphi(x,y) + 2Dx + 2Ey + F = 0. \] Nun sei \(P=0\) die Gleichung der Tangente im Punkte \(M\) der Hyperbel und \(P_1=0\) die Gleichung einer durch \(M\) gehenden Geraden. Ist dann \(S=0\) die Gleichung des in \(M\) osculirenden Kreises der Hyperbel, so ist: \[ S \equiv \varphi(x, y) + 2Dx + 2Ey + F + P.P_1 = 0. \] Daraus folgt: \[ S - 2Dx - 2Ey - F \equiv \varphi(x,y) + PP_1. \] Die linke Seite dieser Identität stellt einen Kreis dar; mithin auch die rechte Seite. Derselbe lässt sich daher leicht bestimmen, da er durch die vier Punkte geht, die man aus den Gleichungen: \[ \varphi(x,y) = 0,\quad P = 0\text{ und }\varphi(x,y) = 0,\quad P_1 = 0 \] durch Auflösung nach \(x\) und \(y\) erhält. Wenn auch die Gerade \(P_1=0\) nur zum Teil bekannt ist, so wird sie eben dadurch vollständig bestimmt, dass die vorerwähnten vier Punkte auf demselben Kreise liegen müssen. Man kann also den Kreis construiren, der die Gleichung hat: \[ S - 2Dx - 2Ey - F = 0; \] dieser Kreis hat aber mit dem gesuchten osculirenden Kreise \(S\) zur Chordale die Gerade: \[ 2Dx + 2Ey + F = 0,\tag{\(g\)} \] welche leicht aus der Polare \(Dx+Ey+F=0\) des Anfangspunktes in Bezug auf die Hyperbel abgeleitet werden kann.
Man construire daher die asymptotischen Richtungen der Hyperbel und die Tangente in \(M\); hierzu durch \(M\) die Gerade, die mit den drei ersten Geraden ein Kreisviereck bildet; dann den Kreis durch die Ecken dieses Kreisvierecks und die Gerade \((g)\). Derjenige Kreis nun, der durch \(M\) geht und mit dem vorher construirten Kreise zur Chordale die Linie \((g)\) hat, ist der gesuchte osculirende Kreis. Nachher wird noch diese Construction auf den Fall der Parabel übertragen.
Full Text: EuDML