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Sulla teoria delle linee geodetiche e dei sistemi isotermi di Liouville. (Italian) JFM 25.1174.04

Ven. Ist. Atti (7) V. 643-681 (1894).
Seit dem Jahre 1886 hat Hr. Ricci eine Reihe wertvoller Untersuchungen über die Theorie der quadratischen Differentialformen von \(n\) Veränderlichen veröffentlicht, über deren hauptsächliche Ergebnisse er selbst 1892 in Darboux’s Bulletin berichtet hat (vgl. F. d. M. XXIV. 1892. 371, JFM 24.0371.02). Der Kernpunkt seiner neuen Betrachtungsweise ist die Einführung des Begriffes der “\(m\)-fachen covarianten, bez. contravarianten Functionensysteme” und der Nachweis, dass man aus jedem co-, bezw. contravarianten Systeme vermöge der Operation der “co-, bezw. contravarianten Ableitung in Bezug auf eine vorgelegte quadratische Differentialform” neue Systeme derselben Beschaffenheit erhält. Für die Gesamtheit dieser Operationsmethoden, schlägt Hr. Ricci jetzt den Namen “calcolo differenziale assoluto” vor und stellt sich die Aufgabe, zu zeigen, wie die Durchführung seiner Theorie sich in dem einfachsten Falle der quadratischen Differentialformen gestaltet, der in der Theorie der krummen Oberflächen seine Verwirklichung findet.
In der ersten der beiden (siehe JFM 25.1174.03) vorliegenden Arbeiten handelt es sich für den Verf. weniger darum zu neuen Ergebnissen zu gelangen, als die unverkennbaren Vorteile seiner Methode auf einem bekannten Gebiete hervortreten zu lassen. In dieser Beziehung verdient etwa hervorgehoben zu werden, dass der Begriff der geodätischen Krümmung sich von selbst aus der analytischen Entwickelung ergiebt, und dass die Frage nach der Transformirbarkeit zweier binären quadratischen Differentialformen in einander eine einfache und übersichtliche Lösung findet, bei der die Einführung specialisirter Coordinatonsysteme nicht erforderlich ist.
Die zweite Abhandlung zeigt, dass die neuen Methoden auch als Instrument der Forschung dienen können; denn in ihr ist Hr. Ricci unabhängig von Hrn. Koenigs, mit dessen gleichzeitiger Arbeit er sich in vielen Punkten begegnet, zu interessanten Sätzen gelangt über die Existenz von Integralen der Differentialgleichung der geodätischen Linien, die homogene quadratische Functionen der ersten Ableitungen sind. Während in Betreff der Einzelheiten auf die Abhandlung selbst verwiesen werden muss, möge hier bemerkt werden, dass die Ricci’schen Ergebnisse einer wesentlichen Ergänzung bedürfen, die er hinzuzufügen unterlassen hat. Sein Theorem (S. 660): “Jedem quadratischen Integrale bei der Gleichung der geodätischen Linien auf einer Fläche \(\varphi\) entspricht ein und nur ein isothermes System von Liouville: \[ (U - V)(du^2 + dv^2), \] und umgekehrt entspricht jedem isothermen Systeme von Liouville ein und nur ein quadratisches Integral bei der Gleichung der geodätischen Linien”, ist nur dann richtig, wenn man die Beschränkung hinzufügt, dass die Fläche \(\varphi\) reell sein soll. Zur Begründung dieser Bemerkung genügt es, auf Livre VI. Chap. II von Darboux’s Leçons sur la théorie générale des surfaces zu verweisen.