Sur sistemi lineari di superficie algebriche le cui intersezioni variabili sono curve iperellittiche. (Italian) JFM 25.1215.02

Enriques, F.

Rom. Acc. L. Rend. (5) II, No. 2, 281-287 (1893).

Verfasser unternimmt ähnliche Untersuchungen über lineare Flächensysteme, wie sie für lineare Curvensysteme in der Ebene bei Zugrundelegung birationaler (Cremona’scher) Transformationen längst angestellt sind. In der vorliegenden Note behandelt er zuerst jene einfachen Flächensysteme des gewöhnlichen Raumes, deren veränderliche Durchschnitte hyperelliptische Curven vom Geschlechte \(p>1\) sind, und studirt dann allgemeiner die dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten mit hyperelliptischen Schnitten für \(p>1\). Als Ausgang dient ihm die Untersuchung von Flächen, welche hyperelliptische Schnittcurven vom Geschlechte \(p>1\) besitzen; er findet, dass jede solche Fläche einen rationalen Kegelschnittbüschel enthält oder eine Regelfläche vom Geschlechte \(p\) ist. Dieses Resultat wird auf die dreidimensionale Mannigfaltigkeit mit hyperelliptischen Schnitten ausgedehnt, wobei sich zeigt, dass dieselbe entweder einen rationalen Büschel von Flächen zweiten Grades enthält oder eine einfach unendliche Schar von Ebenen. Hieraus folgt dann, dass jedes einfach lineare System von Flächen, deren veränderliche Schnitte hyperelliptische Curven sind, durch eine birationale Transformation des Raumes in ein System von Flächen übergeführt worden kann, deren Grad eine gewisse Zahl “\(n\)” ist. Dieses Flächensystem besitzt als Basiscurve jedenfalls eine \((n-2)\)-fach gezählte Gerade und eine einfache Curve, welche von den durch die Gerade gehenden Ebenen in zwei veränderlichen Punkten getroffen wird.

Reviewer: v. Braunmühl, Prof. (München)

JFM Section:

Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Capitel 3. Analytische Geometrie des Raumes. B. Theorie der algebraischen Flächen und Raumcurven.