Sulla massima dimensione dei sistemi lineari di curve di dato genere appartenenti ad una superficie algebrica. (Italian) JFM 25.1217.01

Enriques, F.

Torino Atti XXIX, 275-296 (1894).

Die Maximalzahl der Dimensionen linearer Systeme ebener Curven von gegebenem Geschlecht \(p>1\) wurde zuerst von Hrn. Jung und dann von Hrn. Castelnuovo (Annali di Mat. XVIII) durch die Zahl \(r=3p+5\) bestimmt, und letzterer hat die Systeme, welche diese Maximalzahl erreichen, auf Typen reducirt. Hr. Guccia endlich hat gezeigt (Palermo Rend. I), dass es für \(p=0\) eine solche Maximalzahl nicht giebt, und dass für \(p=1\) dieselbe gleich 9 wird.
Verfasser stellt sich nun die Aufgabe, die allgemeine Frage nach der Maximalzahl für ein lineares System von Curven des Geschlechts \(p\) auf irgend einer algebraischen Fläche zu beantworten, und gelangt, im allgemeinen der Methode Castelnuovo’s folgend, zu dem nachstehenden Resultate:
“Wenn auf einer Fläche ein lineares System vom Geschlechte \(p\geqq0\) und der Dimension \(r\geqq3p+5\) existirt, so tritt einer der folgenden Fälle ein: 1) die Fläche ist zwei-eindeutig beziehbar auf eine Regelfläche vom Geschlechte \(p\), welche als Erzeugende die Bilder der Curven des Systems hat; oder 2) die Fläche ist rational, und das System ist einfach von der Dimension \(r=3p+5\) oder auch \(r=9\) für \(p=1\); dann kann man die Fläche birational transformiren in eine des Raumes \(S_r\), auf welcher die Bilder der Systemcurven die hyperplanaren Schnitte sind”.

Reviewer: v. Braunmühl, Prof. (München)

JFM Section:

Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Capitel 3. Analytische Geometrie des Raumes. B. Theorie der algebraischen Flächen und Raumcurven.