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Théorie générale des surfaces hyperelliptiques. (French) JFM 25.1220.01
Journ. de Math. (4) IX, 29-170 (1893); IX, 361-475 (1893).
Diese von der Pariser Akademie mit dem Bordin’schen Preise gekrönte Arbeit beschäftigt sich mit dem Studium jener Flächen, deren nicht-homogene Punktcoordinaten sich durch eindeutige vierfach periodische Functionen zweier Parameter ausdrücken lassen. Der Autor nennt sie abkürzend hyperelliptische Flächen. Den Ausgangspunkt bilden die Arbeiten des Herrn Poincaré über die mehreren Abel’schen Functionen gemeinsamen Nullstellen und des Herrn Picard über die genannten Flächen. Die Abhandlung zerfällt in vier Abschnitte.
Im I. Abschnitte, der zur Einführung dient, werden die Punktcoordinaten der Fläche als Quotienten zweier Thetafunctionen \(m^{\text{ter}}\) Ordnung dargestellt, für welche gewisse Normalformen eingeführt werden; es werden die Eigenschaften dieser Normalthetas, soweit nötig, auseinandergesetzt, und es wird gezeigt, dass die Gleichung einer jeden algebraischen Curve einer hyperelliptischen Fläche durch eine verschwindende Normalthetafunction dargestellt ist.
Der II. Abschnitt behandelt in 10 Capiteln die Kummer’sche Fläche, deren homogene Punktcoordinaten proportional den für \(m=2\) resultirenden 4 (allgemein \(m^2\)) linear unabhängigen “geraden” Normalthetas zweiter Ordnung mit der Charakteristik Null gesetzt werden, so dass jedem Flächenpunkte zwei Parameterpaare \((u,v)\), \((-u,-v)\) entsprechen, eine Darstellung, die im Grunde mit der von Herrn Weber (Journ. für Math. LXXXIV) und Cayley (Journ. für Math. LXXXIII) übereinstimmt.
Auf die Betrachtung der Kummer’schen Fläche als Singularitätenfläche eines Complexes vom zweiten Grade oder als Focalfläche von Liniencongruenzen geht der Verfasser nicht ein; dagegen discutirt er insbesondere die algebraischen Curven auf der Kummer’schen Fläche, welche insgesamt durch das Verschwinden einer geraden oder ungeraden Normalthetafunction von beliebiger Ordnung bestimmt werden und sämtlich von geradem Grade sind. Dann beweist er als ein die ganze Theorie beherrschendes Fundamentaltheorem den Satz, “dass die Gleichung einer vollständigen Curve von der Ordnung \(4p\), welche von einer algebraischen Fläche \(p^{\text{ter}}\) Ordnung aus der Kummer’schen Fläche ausgeschnitten wird, durch das Nullsetzen einer geraden Normalthetafunction von der Ordnung \(2p\) und der Charakteristik Null erhalten wird”, ein Theorem, dessen Umkehrung ebenfalls gilt, woraus sich die Folgerung ergiebt, dass man längs einer jeden algebraischen Curve vom Grade \(2p\) auf der Kummer’schen Fläche derselben eine algebraische Fläche vom Grade \(p\) umschreiben kann, die sie in der fraglichen Curve allein schneidet. Des weiteren wird ein neuer Algorithmus entwickelt, welcher zur Untersuchung der Rosenhain’schen Gruppen (d. h. der Gruppen von je vier singulären Ebenen, die ein Tetraeder bilden, dessen Ecken in vier singulären Punkten liegen), der Goepel’schen Gruppen (das sind jene, welche aus vier Ebenen gebildet werden, deren Tetraeder keine singulären Punkte zu Ecken hat) und endlich der Göpel’schen Oktaeder, gebildet aus acht singulären Ebenen, vortreffliche Dienste leistet. Ausserdem werden mit Hülfe dieses Algorithmus noch einige neue Gruppen gefunden, so Gruppen von vier Kegelschnitten, welche auf derselben Fläche zweiten Grades, und von sechs Kegelschnitten, welche auf der gleichen Fläche dritten Grades liegen.
Die Capitel 2 bis einschliesslich 7 dieses Abschnittes beschäftigen sich mit der Klassitication und Bestimmung der Curven von gegebenem Grade, welche man auf einer Kummer’schen Fläche ziehen kann; es ergeben sich hierbei bemerkenswerte einfache und neue Sätze, die auf dem Theorem beruhen: “Irgend eine Curve wird der volle Durchschnitt einer algebraischen Fläche mit der Kummer’schen, wenn man ihr 0, 1, 2, 3, oder 4 Kegelschnitte der letzteren adjungirt”. Daran schliesst sich ein detaillirtes Studium der Curven vierten, sechsten und achten Grades an, sowie der längs diesen Curven eingeschriebenen Flächen, die resp. vom zweiten, dritten und vierten Grade sind. Das von den Herren Rohn (Math. Ann. XV. 351) und Darboux (C. R. XCII. 686) bewiesene Theorem, dass es 30 Scharen von Flächen zweiten Grades giebt, welche einer Kummer’schen Fläche eingeschrieben sind, wird einer eingehenden Untersuchung unterzogen, welche eine Reihe neuer geometrischer Resultate liefert. — Ferner giebt es 32 Scharen von Curven sechster Ordnung auf der Kummer’schen Fläche, welche in zwei Gruppen von je 16 zerfallen, und desgleichen 32 Familien von Curven achten Grades, welche sich in drei Gruppen spalten, von denen zwei je eine und die dritte 30 Scharen umschliesst. Die allgemeinen Flächen vierten Grades, welche der Kummer’schen Fläche längs einer Curve achter Ordnung der letzten Schar eingeschrieben sind, sind selbst wieder Kummer’sche Flächen, deren 16 Doppelpunkte auf der ersteren Fläche liegen.
Die Configurationen, welche die 16 Doppelpunkte und die 16 Doppelebenen einer solchen eingeschriebenen Kummer’schen Fläche auf der ursprünglichen bilden, sind schon von Herrn F. Klein (Math. Ann. XXVII) genau untersucht worden, weshalb sich der Verfasser auf die Discussion der Fälle beschränkt, in denen die berührende Kummer’sche Fläche ausartet; dabei werden die von Herrn Klein 1. c. gefundenen Formeln auf neue Art abgeleitet und auf verschiedene Fragen angewandt.
Nachdem im VIII. Capitel die reciproke Fläche der Kummer’schen, die selbst wieder eine Kummer’sche Fläche ist, sowie die ihr umschriebenen developpabeln Flächen behandelt worden sind, werden im IX. Capitel die Curven der Fläche bezüglich ihres Geschlechtes untersucht, und es ergiebt sich der Satz, dass das allgemeine Geschlecht der Curven von gleicher Ordnung und gleicher Familie gleich der Anzahl der Parameter ist, von welchen diese Familie abhängt. Zwei solche Curven schneiden sich in beweglichen Punkten, welche auf der einen wie auf der anderen eine Specialgruppe \(G_{2(p-1)}\) bilden, und alle Specialgruppen werden auf einer von ihnen durch die anderen Curven der Familie ausgeschnitten. Dieser durch geometrische Ueberlegungen gewonnene Hauptsatz wird auch durch analytische Betrachtungen nachgewiesen; ausserdem werden die aus der Kenntnis des Geschlechtes sich ergebenden Eigenschaften der Curven einer eingehenden Discussion unterzogen. Den Schluss des Abschnittes bildet eine im Capitel X geführte Untersuchung einer speciellen Gattung von Curven, die der Verfasser “courbes univoques” nennt, und welche die fundamentale Eigenschaft haben, dass man für jeden ihrer Punkte die beiden Argumentenpaare \((u,v)\), \((-u,-v)\), welche einem Punkte der Kummer’schen Fläche entsprechen, trennen kann, so dass ihre Gleichung durch \[ \theta_0(u, v)\theta_0(-u, -v) = 0 \] gegeben ist. Einem Punkte der Curve entspricht also nur ein System von Werten der Parameter \(u\), \(v\). Diese Curven besitzen wichtige geometrische Eigenschaften, welche der Verfasser entwickelt.
Die Kummer’sche Fläche nimmt eine ausgezeichnete Stellung unter den hyperelliptischen Flächen ein, weil jedem ihrer Punkte zwei Paare von Parameterwerten entsprechen. Da die allgemeinsten Flächen diese Eigenschaft natürlich nicht besitzen, so sind auch ihre Fundamentaleigenschaften von denen der Kummer’schen Fläche verschieden.
Ihrer Besprechung ist der III. Abschnitt gewidmet, welcher fünf Capitel umfasst.
Im I. Capitel wird zunächst der von Herrn Picard in seinen Untersuchungen über diese Flächen (Journ. de Math. (4) I. 312 und V. 223, F. d. M. XVII. 1885. 332-333, JFM 17.0332.03, und XXI. 1889. 775-777, JFM 21.0775.01) aufgestellte Satz bewiesen, dass eine allgemeine hyperelliptische Fläche, deren Punkten nur immer ein Wertepaar von Parametern \(u\), \(v\) entspricht, vom Geschlechte 1 ist; dann wird der Begriff der adjungirten Flächen aufgestellt, welche einer hyperelliptischen Fläche zugehören. Ein doppelt rationales Integral, das in allen Punkten einer algebraischen Fläche \(S(x, y, z)=0\) von der Ordnung \(n\) endlich bleibt, ist nämlich von der Form: \[ \iint \frac{D(x, y, z)}{S_z'} dxdy; \] hierbei ist \(D\) ein Polynom von der Ordnung \(n-4\), und \(D=0\) stellt die adjungirte Fläche von \(S\) dar. \(S\) wird von \(D\) in seinen vielfachen Curven und in seinen sogenannten (Noether) “ausgezeichneten” unicursalen Curven geschnitten, und zwar ist jede vielfache Curve von der Ordnung \(l\) auf \(S\) eine vielfache Curve von der Ordnung \(l-1\) auf \(D\), und jeder vielfache Punkt von der Ordnung \(l\) auf \(S\) ein vielfacher Punkt von der Ordnung \(l-2\) auf \(D\). Später (Capitel III) wird der Begriff der adjungirten Flächen noch dahin verallgemeinert, dass eine Fläche adjungirt zu einer gegebenen hyperelliptischen Fläche \(S\) heisst, wenn sie jede vielfache Curve von der Ordnung \(l\) auf \(S\) zur vielfachen Linie von der Ordnung \(l-1\) hat und sich in jedem isolirten vielfachen Punkte von \(S\) ebenso verhält, wie die adjungirte Fläche \(D\) von der Ordnung \(n-4\). Ferner entsprechen sich alle hyperelliptischen Flächen, deren Punktcoordinaten sich durch eindeutige vierfach periodische Functionen mit denselben Parametern ausdrücken, Punkt für Punkt, und zwar so, dass jeder auf einer derselben gezogenen Curve \(\theta(u,v)=0\) auf einer anderen Fläche Curven entsprechen, die durch dieselbe Gleichung dargestellt sind. Die Eigenschaften solcher Curven werden also von der Definition der hyperelliptischen Fläche unabhängig und bei birationalen Transformationen invariant sein. Mit der Geometrie dieser algebraischen Curven in dem hyperelliptischen Felde beschäftigt sich das II. Capitel und fördert eine Reihe interessanter geometrischer Sätze zu Tage.
Im III. Capitel wird die Theorie der adjungirten Flächen behandelt. Der hier auseinandergesetzte Zusammenhang zwischen den hyperelliptischen Functionen und den adjungirten einer gegebenen Fläche erweist sich als eine directe Verallgemeinerung des Fundamentaltheorems für die Kummer’sche Fläche und gestattet, eine Menge geometrischer Resultate abzuleiten, welche sieh auf die Anzahl der adjungirten Flächen, auf die adjungirten Tangentialflächen, auf die ebenen Schnitte etc. beziehen. So ist z. B. die Anzahl der linear-unabhängigen Flächen von der Ordnung \(n+q-4\), welche einer hyperelliptischen Fläche von der Ordnung \(n\) adjungirt sind: \[ N_q = \frac12q(q-1)n + q(p-1) + \frac16(q-1)(q-2)(q-3), \] und die von ihnen auf der ursprünglichen Fläche ausgeschnittenen linearen Curvenscharen hängen von \[ \frac12q(q-1)n + q(p-1) - 1 \] willkürlichen Parametern ab.
Im IV. und V. Capitel werden specielle Klassen hyperelliptischer Flächen behandelt. Die einfachsten sind jene, welche keine singulären unicursalen Curven haben, ihre Ordnung ist das Doppelte einer Quadratzahl. Ferner gelingt es dem Verfasser, die Gleichung einer Fläche achter Ordnung aufzustellen, welche wahrscheinlich die einfachste von jenen Flächen sein dürfte, die sich punktweise auf dem hyperelliptischen Felde darstellen lassen. Er setzt zu diesem Zwecke: \[ x_1 = \vartheta_0\vartheta_1^2,\quad x_2 = \vartheta_0\vartheta_2^2,\quad x_3 = \vartheta_0\vartheta_3^2,\quad x_4 = \vartheta_1\vartheta_2\vartheta_3 \] oder \[ x = \frac{\vartheta_0\vartheta_1}{\vartheta_2\vartheta_3},\quad y = \frac{\vartheta_0\vartheta_2}{\vartheta_1\vartheta_3},\quad z = \frac{\vartheta_0\vartheta_3}{\vartheta_1\vartheta_2}, \] wo die \(\vartheta\) gewöhnliche Thetafunctionen ersten Grades von zwei Argumenten sind, und zwar ist \(\vartheta_0\) eine gerade und die übrigen sind ungerade Functionen. Die Flächengleichung erhält er dann zuerst in homogenen und dann in Cartesischen Coordinaten, indem er die sich aus obigen Gleichungen ergebenden Werte der Thetafunctionen in jene bekannte Relation einführt, die die Quadrate von vier Thetafunctionen einer Rosenhain’schen Gruppe verbindet. Zwischen den Coordinaten der Punkte dieser Fläche und jenen der Kummer’schen Fläche besteht ein sehr einfacher Zusammenhang, der jedem Punkte der ersteren einen Punkt der letzteren, jedem der letzteren aber zwei Punkte der ersteren zuweist. Aus diesem Zusammenhang ergeben sich weitere geometrische Folgerungen. — Der Abschnitt schliesst mit der Angabe zweier Flächen achter Ordnung, die einen etwas allgemeineren Charakter besitzen.
Der IV. und kürzeste Teil ist dem Studium derjenigen allgemeinen hyperelliptischen Flächen gewidmet, deren Punkten zwei Paare von Parameterwerten \((u, v)\), \((u',v')\) entsprechen. Diese Flächen sind punktweise auf die Kummer’sche Fläche abbildbar, und ihre homogenen Punktcoordinaten werden proportional vier Normalthetas von gleicher Ordnung und Charakteristik, die entweder alle gerade oder alle ungerade sind. Ausserdem ist die Anzahl der zu einer solchen Fläche adjungirten Flächen von der Ordnung \(n+q-4\) um zwei grösser als die entsprechende im III. Abschnitt gefundene Zahl angiebt. — Der Verfasser entwickelt eine Methode, um die Flächen vierter, d. h. niedrigster Ordnung dieser Gattung zu finden, und behandelt als Beispiel jene Fläche vierten Grades, welche der Ort der Spitzen aller Kegel zweiten Grades ist, die durch sechs gegebene Punkte laufen. Auf ihren Zusammenhang mit der Kummer’schen Fläche hat zuerst Herr Darboux hingewiesen. Hiermit schliesst die gehaltvolle Arbeit, die sich ganz besonders durch klare Schreibweise und übersichtliche Darstellung auszeichnet.

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