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Studio di alcuni sistemi di rette considerati come superficio dello spazio a cinque dimensioni. (Italian) JFM 25.1282.02

Die Strahlencongruenz \((m, n)\) von \(m^{\text{ter}}\) Ordnung und \(n^{\text{ter}}\) Klasse wird aufgefasst als Fläche \((m+n)^{\text{ter}}\) Ordnung auf einem quadratischen \(R_4\) des \(R_5\). Ist \(k\) der Rang, \(p\) das Geschlecht der Congruenz, so ist: \[ p = (m - 1)(n - 1) - k, \] wenn \((m, n)\) nicht unendlich viele Doppelgeraden hat. Dieses und \(m+n\leqq8\) wird vorausgesetzt und \(p=0\) ausgeschlossen, woraus sich ergiebt: eine rationale Reihe von Strahlenbüscheln, das Bisecantensystem einer kubischen Raumcurve, der Schnitt eines singulären linearen Complexes mit einem quadratischen Complexe.
Nachdem gezeigt ist, dass für die Congruenzen zweiter Ordnung ohne Focalcurven \(p=1\) ist, und dass sie auf die Ebene abbildbar seien, werden die Fälle \(m+n=5\), 6, 7, 8 behandelt mit Hülfe der repräsentirenden Fläche des \(R_5\); die niedrigsten Complexe werden bestimmt, in welchen diese Congruenzen liegen, die Zahl und Art der singulären Punkte und die Möglichkeit der Abbildung auf die Ebene. Als hauptsächlichste Resultate werden angegeben:
Für (3,3) ohne unendlich viele Doppelgeraden ist \(p=4\); sie ist Schnitt eines linearen Complexes \(C_1\) und eines \(C_3\); oder es ist \(p\leqq2\), wo dann im allgemeinsten Falle 12 singuläre Punkte und 12 singuläre Ebenen auftreten, im besondern auch 13, 14, 15 solcher Punkte und Ebenen.
Für \((m, 7-m)\), die nicht in singulärem \(C_1\) liegt, ist \(p\leqq3\); für \(p=3\) ist \(m=3\), 4: unvollständiger Schnitt zweier \(C_2\); für \(p=2\) ist \(m=3\), 4: im letzteren Falle kann die Congruenz eine Cremona’sche werden.
Ausser (4, 4), \(p=9\), Schnitt von \(C_1\) und \(C_4\), kann keine \((m, 8-m)\), welche nicht unendlich viele Doppelgeraden hat, in einem nicht singulären \(C_1\) liegen. Für jede andere solche \((m, 8-m)\) ist \(p\leqq5\). Für \(p=5\) ist \(m=4\): Schnitt zweier \(C_2\). Es giebt: für \(p=4\) eine (4, 4) in einem speciellen \(C_2\) und auf die Ebene abbildbare (3, 5), (5, 3) in tetraedralem \(C_2\); für \(p=3\) giebt es \(m=4\), 3, 5: im ersten Falle kann die Congruenz hyperelliptisch werden; für \(p=2\) giebt es \(m=3\), 5: für \(m=5\) ist die Congruenz eine Cremonaische; für \(p=1\) ist \(m=2\), 3: die letzteren Congruenzen sind die allgemeinsten \((3, m)\) mit \(p=1\).

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