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Sur les congruences de droites et sur la théorie des surfaces. (French) JFM 25.1285.01

Die Bewegung eines rechtwinkligen Trieders, welche von zwei Parametern abhängt, ist in Darboux’s Flächentheorie fundamental. Zwischen den Componenten dieser Bewegung bezüglich der Axen des Trieders bestehen Relationen, zu welchen in der vorliegenden Arbeit neue hinzugefügt werden, indem die Ableitungen der Translationen durch die Componenten und durch gewisse, zu dem Bogenelement der Fläche gehörige Christoffel’sche Differentialausdrücke dargestellt werden. Das Bogenelement der sphärischen Abbildung der Fläche giebt dann die analogen Formeln für die Ableitungen der Rotationen. Diese Formeln werden dazu benutzt, um die Bedingungen abzuleiten, welche von dem Bogenelement der Fläche erfüllt sind, wenn die Coordinatenlinien asymptotische Curven sind; es wird das Dini’sche Theorem bewiesen, welches die Bedingung dafür giebt, dass ein auf der Kugel gezogenes Curvensystem die sphärische Abbildung der asymptotischen Curven einer Fläche sei. Dann werden die Resultate des Hrn. Guichard von neuem bewiesen: Die Bestimmung der Congruenzen von gegebener sphärischer Abbildung (die beliebig sein kann) führt auf die Differentialgleichung: \[ \frac{\partial^2\varrho}{\partial u\partial v} + \beta\frac{\partial\varrho}{\partial u} + \beta_1\frac{\partial\varrho}{\partial v} + \left(\frac{\partial\beta}{\partial u} + \frac{\partial\beta_1}{\partial v} + f\right)\varrho = 0, \] welcher der halbe Abstand \(\varrho\) der Brennpunkte eines Strahls genügt.
Wird einer jeden Lage des Trieders eine Gerade zugeordnet, welche parallel ist zur Flächennormale, so erfüllt diese Gerade eine allgemeine Congruenz. Die Krümmungsgrössen der Brennflächenschalen dieser Congruenz werden durch die Componenten der Bewegung des Trieders ausgedrückt und durch die obigen Christoffel’schen Differentialausdrücke für das Bogenelement der sphärischen Abbildung der Congruenz.
Es wird eine neue Lösung des Problems gegeben: alle Flächen zu bestimmen, welche von den Developpablen einer Congruenz in conjugirten Linien geschnitten werden, indem diese Frage auf die Integration der adjungirten Gleichung der obigen Differentialgleichung zurückgeführt wird. Dieses Problem ist äquivalent dem Problem der Bestimmung derjenigen Congruenzen, welche dieselbe sphärische Abbildung ihrer Developpablen haben wie die gegebene Congruenz.
Ebenso führt die Bestimmung der Kugelenveloppen, für welche die Berührungssehnen der Kugeln die gegebene Congruenz erfüllen, auf die Integration dieser adjungirten Differentialgleichung.
Des weitern werden die conjugirten Liniensysteme einer Fläche behandelt und hiermit frühere Noten des Verfassers (F. d. M. XXIII. 1891. 816, JFM 23.0816.02; JFM 23.0816.03) weiter ausgeführt. Die Bestimmung gewisser solcher Liniensystemeführt zu denselben Gleichungen, von welchen das Problem der Deformation und der unendlich kleinen Deformation der Flächen abhängt.
Es ist nicht möglich, auf den reichen Inhalt dieser wichtigen Arbeit hier näher einzugehen.

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Full Text: Numdam EuDML