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Sur la dynamique du point. (French) JFM 25.1396.01
Nouv. Ann. (3) XIII. 52-65 (1894).
Ein Massenpunkt \(M\) von der Masse \(m\) sei einer Kraft unterworfen, die ein Potential \(U\) besitzt, so dass, wenn \(v\) seine Geschwindigkeit bezeichnet, \(mv^2=2U\) ist. Sind \(F_n\) und \(F_b\) die Projectionen der Kraft auf die Hauptnormale und auf die Binormale zur Bahnlinie, so ist \(F_b=0\), \(F_n=2U/\varrho\), wenn \(\varrho\) den Krümmungsradius bezeichnet. Wir stellen uns jetzt vor, man nötige denselben Punkt zur Beschreibung derselben Curve unter der Einwirkung einer aus einem Potential \(U'\), einer Function von \(U\), fliessenden Kraft, so dass, wenn \(v'\) die Geschwindigkeit dieser neuen Bewegung ist, \(mv'^2=2U'\) ist. Nennt man dann \(F_b'\) und \(F_n'\) die den Grössen \(F_b\) und \(F_n\) entsprechenden Projectionen, ferner \(N\) die Reaction der Curve, die notwendig nach der Hauptnormale gerichtet ist, so folgt: \[ F_b' = F_b\frac{dU'}{dU} = 0,\quad F_n' = F_n\frac{dU'}{dU} = \frac{2U'}{\varrho} - N. \] Die Kraft liegt in der Schmiegungsebene, ebenso auch die Reaction der Curve. Diese Gleichungen können fast immer dazu dienen, die Aufgabe der Erforschung der Bewegung eines Punktes auf einer festen Curve (wobei die Kraft in der Schmiegungsebene zu bleiben genötigt wird) auf die Erforschung der Bewegung eines freien Punktes zurückzuführen, der diese Curve als Bahnlinie zulässt. Dieses wird an einer Reihe von Beispielen erläutert, wobei die brachistochrone und die tautochrone Bewegung herangezogen werden. Auch für die Bewegung von \(M\) auf einer krummen Oberfläche werden ähnliche Betrachtungen angestellt und durch besondere Fälle beleuchtet.
Full Text: EuDML