Sur les cas d’intégrabilité du mouvement d’un point dans un plan. (French) JFM 25.1404.02

Elliot, M.

C. R. CXVI, 1117-1120 (1893); Ann. de l’Éc. Norm. (3) XI, 9-22 (1894) (1893).

Wird ein beweglicher Massenpunkt durch Kräfte angegriffen, die ein Potential haben, so ergiebt sich die Bedingung dafür, dass das Problem ausser dem Integrale der lebendigen Kraft ein Integral zweiten Grades hinsichtlich der Geschwindigkeiten zulässt, als eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, der die Kräftefunction genügen muss. Hr. Bertrand hat aus ihr interessante Folgerungen abgeleitet, ohne ihr Integral anzugeben (Journ. de Math. (2) II. 1857). Der Verfasser zeigt, dass das allgemeine Integral der erwähnten Gleichung durch die von Liouville aufgefundenen Ausdrücke der Kräftefunction gegeben wird (Sur quelques cas particuliers où les équations du mouvement d’un point matériel peuvent s’intégrer. Journ. de Math. (1) XI. 1846). Dieses Ergebnis folgt leicht aus dem allgemeinen Ausdrucke der auf die Liouville’sche Form zurückführbaren Linienelemente. In vielen Fällen ist die partielle Differentialgleichung bequemer für den Gebrauch als ihr Integral, wie Hr. Bertrand bei der Lösung der Aufgabe gezeigt hat, die Kräftefunctionen zu suchen, für welche ein Integral zweiten Grades besteht, falls die Kräfte nur von den Abständen des beweglichen Punktes von festen Punkten der Ebene abhängen. Eine vorsichtige Verallgemeinerung dieser Methode lehrt auch die Fälle kennen, in denen die Kräfte von den Abständen des Massenpunktes von festen Geraden abhängen. Am Schlusse der Arbeit werden die folgenden Kräfte aufgezählt, unter deren gleichzeitiger Einwirkung die Jacobi’sche Methode die Bewegung des Punktes auf Quadraturen zurückführt: 1) eine constante Kraft parallel zu \(Oy\), 2) eine Kraft senkrecht zu \(Oy\) und umgekehrt proportional dem Würfel des Abstandes, 3) eine Centralkraft nach dem Ursprung der Coordinaten, umgekehrt proportional dem Quadrate der Entfernung, 4) eine Kraft \(hy\), von \(Ox\) ausgehend, 5) eine Kraft \(-h_1x\), von \(Oy\) ausgehend, 6) eine Centralkraft nach dem Ursprunge, von der Grösse \((\frac13h+\frac43h_1)r\).

Reviewer: Lampe, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Zehnter Abschnitt. Mechanik. Capitel 4. Dynamik. A. Dynamik fester Körper.