Mouvement d’un point matériel dans le cas d’une résistance proportionnelle à la vitesse. (French) JFM 25.1405.01

Elliot, M.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) X, 231-252 (1893).

Die Differentialgleichungen der Bewegung eines freien Punktes von der Masse 1 unter der Einwirkung von Kräften, die ein Potential \(U\) besitzen, das nur von den Coordinaten des Massenpunktes abhängt, sind, wenn noch ein der Geschwindigkeit proportionaler, ihr entgegengesetzt gerichteter Widerstand hinzutritt: \[ \frac{d^2x_i}{dt^2} + k\frac{dx_i}{dt} = \frac{\partial U}{\partial x_i}\qquad(i=1,2,3).\tag{1} \] Führt man anstatt der Variabeln \(x_i\) mittels der Gleichungen \(x_i=\varphi_i(q_1, q_2, q_3)\), wo die \(\varphi_i\) die Zeit nicht enthalten, die Veränderlichen \(q_i\) ein, so verwandeln sich die Gleichungen (1) in \[ \frac d{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial q_h'}\right) + k\frac{\partial T}{\partial q_h'} - \frac{\partial T}{\partial q_h} = \frac{\partial U}{\partial q_h}\qquad(h=1,2,3).\tag{4} \] Der Verf. bringt diese Gleichungen auf die kanonische Form, d. h. er führt eine derartige Vertauschung der Variabeln aus, dass diese Gleichungen mit denen der Charakteristiken einer partiellen Differentialgleichung zusammenfallen, von der man nach der Jacobi’schen Methode nur ein vollständiges Integral zu finden braucht, um die endlichen Bewegungsgleichungen hinzuschreiben. Durch die Substitution \(p_h = e^{kt}\frac{\partial T}{\partial q_h'}\) geht (4) über in: \[ \frac{dp_h}{dt} = e^{kt}\frac{\partial(T-U)}{\partial q_h}\tag{7} \] oder in \[ \frac{dp_h}{dt} = e^{kt}\frac{\partial(T-U)}{\partial p_h}.\tag{8} \] Die Gleichungen (7) und (8) bilden ein kanonisches System. Es sei \(n\) die Anzahl der Variabeln \(q\); dann hat \(n\) den Wert 3 bei der Bewegung eines freien Punktes, 2 oder 1, wenn der Punkt auf einer Oberfläche oder auf einer Curve bleiben muss. Die partielle Differentialgleichung: \[ \frac{\partial V}{\partial t} + e^{kt}(T - U) = 0, \] in welcher die \(q_h'\) mittels der \(p_h\) ausgedrückt sind, die \(p_h\) selbst durch \(\frac{\partial V}{\partial q_h}\) ersetzt werden, enthält \(n+1\) unabhängige Variabeln \((t, q_1, \dots, q_n)\), dagegen nicht die Function \(V\). Hat man ein vollständiges Integral \[ V(t, q_1,\dots, q_n, \varepsilon_1, \dots,\varepsilon_n) \] mit \(n\) willkürlichen Constanten \(\varepsilon_i\) gefunden, so werden die \(q_h\) durch die Gleichungen \[ \frac{\partial V}{\partial\varepsilon_i} = \varepsilon_i'\qquad(i = 1,\dots,n) \] mit den neuen Constanten \(\varepsilon_i'\) bestimmt.
Für den Fall des freien Punktes setzt man \(V=e^{kt}W\); dadurch folgt: \[ \frac{\partial W^2}{\partial x_1^2} + \frac{\partial W^2}{\partial x_2^2} + \frac{\partial W^2}{\partial x_3^2} + 2kW - 2U = 0.\tag{9} \] Bei der Bewegung auf einer Oberfläche, deren Linienelement die Form \(ds^2= Edu^2+2Fdudv+Gdv^2\) hat, wird \[ \frac{G\frac{\partial W^2}{\partial u^2} - 2F\frac{\partial W}{\partial u}\frac{\partial W}{\partial v} + E\frac{\partial W^2}{\partial v^2}}{EG-F^2} + 2kW - 2U = 0.\tag{11} \] Auf einer Curve endlich folgt \((ds^2=Edu^2)\): \[ \frac1E \frac{dW^2}{du^2} + 2kW - 2U = 0.\tag{12} \] Nach Erledigung dieser allgemeinen Rechnung behandelt der Verfasser einige Fälle, in denen man die partielle Differentialgleichung integriren kann, zunächst für die Bewegung auf einer Curve, wobei einige frühere Untersuchungen des Verfassers und des Herrn Appell über die Integrabilität von Differentialgleichungen benutzt werden. Darauf wird die Bewegung in einer Ebene genauer untersucht; hier, wie im vorigen Falle, werden dadurch Kraftgesetze ermittelt, bei denen die Integration der Differentialgleichungen ausführbar ist. Aehnlich wie bei Jacobi wird die Verwandtschaft dieser Aufgaben mit der Aufsuchung geodätischer Linien beleuchtet. Die einzelnen Fälle der von einem festen Punkte ausgeübten Anziehung, sowie die allgemeinere Betrachtung einer nicht central wirkenden Kraft müssen in der Abhandlung selbst nachgelesen worden. In einem Schlussparagraphen wird noch kurz die Behandlung der Aufgabe für abwickelbare Oberflächen besprochen. Eine Frucht der Arbeit ist demnach darin zu sehen, dass durch die Methode des Verfassers einzelne schon bekannte Fälle der Integrabilität der Differentialgleichungen des Problems unter ein allgemeineres Gesetz gestellt sind und neue Fälle haben ermittelt werden können.

Reviewer: Lampe, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Zehnter Abschnitt. Mechanik. Capitel 4. Dynamik. A. Dynamik fester Körper.