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Note sur le problème de mécanique donné à l’agrégation en 1892. (French) JFM 25.1416.01
Nouv. Ann. (3) XII. 5-19 (1893).
Lösung der Aufgabe: Man betrachtet einen Punkt \(M\), der sich auf einer glatten Oberfläche \(S\) unter der Einwirkung einer immer tangential zu \(S\) gerichteten Kraft bewegt, die aus einem Potential fliesst und deren Grösse in jedem Punkte allein von dem Werte \(u\) des Potentials in diesem Punkte abhängt; ausserdem wird vorausgesetzt, dass \(M\) unendlich viele Curven gleichen Potentials beschreiben kann, falls man ihm passende Anfangsgeschwindigkeiten erteilt.
1) Zu zeigen, dass das Quadrat des Linienelements der Oberfläche \(S\) in der Gestalt geschrieben werden kann: \[ ds^2 = \frac{du^2}{F(u)} + \frac{dv^2}{\varphi(u)}, \] wobei die Linien \(c=\) const. geodätische Linien sind, orthogonal zu den Linien \(U\) gleichen Potentials. 2) Setzt man die Linien \(U\) geschlossen voraus, die Form der Functionen \(F\) und \(\varphi\) so zu bestimmen, dass \(M\) immer eine geschlossene Bahn beschreibt, welches auch immer die gewählten Anfangsbedingungen sind, wenigstens solange, man sich innerhalb geeigneter Grenzen hält; ferner die Grösse der entsprechenden Kraft \(P\) anzugeben. 3) Unter den diesen Bedingungen genügenden Oberflächen befindet sich die Umdrehungsfläche \(S_1\), bei der \[ ds^2 = \frac{m^2du^2}{4u(m^2+u)^2} + \frac{m^4udv^2}{(m^2+u)^2} \] ist, wo \(m\) eine gegebene Länge bezeichnet, \(v\) das Azimut des Elementes \(ds\). Die Gestalt der Meridiancurve anzugeben; die Bewegung von \(M\) unter Einwirkung der oben definirten Kraft \(P\) zu bestimmen, falls am Anfange der Massenpunkt sich auf dem der Gleichung \(u = 2m^2\) entsprechenden Parallel befindet mit einer Geschwindigkeit in der Richtung des Parallels; endlich den auf \(S_1\) ausgeübten Druck zu finden.
Full Text: EuDML