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Ueber die Reduction eines Problems der Dynamik auf hyperelliptische Integrale. (German) JFM 25.1418.02

Ist ein materieller Punkt gezwungen, sich auf einer Rotationsfläche zu bewegen, deren Axe als \(z\)-Axe gewählt werde, und existirt für die Bewegung eine Kräftefunction \(U\), welche in den Parallelkreisen constant ist, so ist nach Jacobi (J. für Math. XXIV. 5-27) die Bewegung zur Zeit \(t\) bestimmt, wenn man als Functionen der Zeit ausser dem Flächenparameter \(u\) den Winkel \(\vartheta\) kennt, den die Meridianebene des bewegten Punktes mit der \(xz\)-Ebene bildet, und dies leisten die Gleichungen (2) und (3) der vorliegenden Abhandlung, welche \(\vartheta\) und \(t\) als Integrale in \(u\) ausdrücken. Der Verfasser behandelt gegenwärtig die Frage, wie beschaffen eine Rotationsfläche sein müsse, damit bei geeigneter Wahl der Kräftefunction die zugehörige Jacobi’sche Bewegung hyperelliptische Integrale ergiebt, zuerst allgemein, dann unter besonderen Annahmen über die Fläche, über die Kräftefunction und über die Natur der hyperelliptischen Integrale. Für den Specialfall, dass die Rotationsfläche algebraisch, die Kräftefunction eine rationale Function von \(r^2\) und \(z\), die Integrale (2) und (3) elliptische sind, lag eine entsprechende, jedoch mit anderen Mitteln durchgeführte Untersuchung von Herrn G. Kobb vor (Acta Math. X. 89-107, F. d. M. XIX. 1887. 949, JFM 19.0949.02). Hr. Stäckel zeigt u. a., dass das Verzeichnis der fünf von Hrn. Kobb aufgezählten Flächen durch eine sechste Fläche vervollständigt werden muss, nämlich: \((x^2+y^2-az-\frac12a^2)^2=a^3z\). Die sonstigen interessanten Ergebnisse, die für den Fall \(U=0\) zu bezüglichen Eigenschaften der geodätischen Linien führen, werden in Form von sechs Sätzen ausgesprochen, deren Fassung sowie Beweise im Original nachzulesen sind.

Citations:

JFM 19.0949.02
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