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New methods in celestial mechanics. Vol. II. Methods of Newcomb, Gyldén, Lindstedt and Bohlin. (Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste. Tome II: Méthodes de MM. Newcomb, Gyldén, Lindstedt et Bohlin.) (French) JFM 25.1847.03

Paris: Gauthier Villars et Fils. viii, 479 S. gr. \(8^\circ\) (1893).
Der erste Band dieses Werkes (1892) ist in JFM 24.1130.01 referiert worden. Von dem Inhalte des zweiten Bandes giebt der Verf. selber in der Vorrede eine kurze Übersicht, der wir wegen der Fülle der im Werke verarbeiteten Gedanken und wegen der Originalität des Standpunktes des Hrn. Poincaré im Nachfolgenden die Hauptsachen entnehmen.
Die Methoden, welche von den neueren Astronomen zur Behandlung der Störungen ersonnen sind, bezwecken die Entwickelung der Coordinaten der Gestirne in Reihen, deren Glieder periodisch sind, also die Fortschaffung der säcularen Glieder, bei denen die Zeit ausserhalb der Sinus- und Cosinusfunctionen auftritt. Dagegen sind diese Gelehrten nicht auf die Convergenz der erhaltenen Reihen eingegangen. Die in dem vorliegenden zweiten Bande dargestellten Ergebnisse sind also nur angenähert richtig, und es ist sehr schwer, in jedem Falle den begangenen Fehler abzuschätzen; doch kann man eine, allerdings nur rohe, obere Grenze dafür finden. Die Glieder dieser Reihen nehmen nämlich zuerst sehr schnell ab und beginnen dann zu wachsen. Da aber die Astronomen schon bei den ersten Gliedern der Reihen inne halten, bevor diese Glieder abzunehmen aufhören, so ist für die Bedürfnisse der Praxis die Annäherung ausreichend; zum Beweise mancher Eigenschaften, wie z. B. der Stabilität des Sonnensystems, könnte man sich jener Reihen allerdings nicht bedienen.
In dem VIII. Capitel, mit welchem der Band II beginnt, wird auseinandergesetzt, wie manche Reihen, welche der Mathematiker divergent nennt, dem Astronomen nichts desto weniger nützen können; wie die gewöhnlichen Rechenregeln auf diese Reihen anwendbar sind, wie man endlich eine obere Fehlergrenze bestimmen kann. In den folgenden Capiteln werden die einfachsten neueren Methoden, die der Herren Newcomb und Lindstedt, erläutert; besonders wird gezeigt, wie man manche Schwierigkeiten heben kann, denen man bei der Anwendung auf den allgemeinsten Fall des Dreikörperproblems begegnet. Diese Schwierigkeiten sind von zweierlei Art. Damit die Lindstedt’sche Methode anwendbar werde, sei es in ihrer ursprünglichen Gestalt oder in der vom Verf. ihr gegebenen, dürfen in erster Annäherung die mittleren Bewegungen nicht durch irgend eine lineare Relation mit constanten Coefficienten verbunden sein. Nun sind aber in dem Dreikörperproblem die mittleren Bewegungen, welche in die Rechnung eingehen, nicht allein die der beiden Planeten, sondern auch die der Perihele und der Knoten. In erster Annäherung, d. h. bei der Kepler’schen Bewegung, sind aber die Perihele und die Knoten fest; ihre mittleren Bewegungen sind also Null, und die eben ausgesprochene Bedingung der Abwesenheit jeder linearen Relation mit ganzen Coefficienten ist also nicht erfüllt. Nachdem der Verf. dargelegt hat, wie man die Annäherungen einrichten kann, um diesem Übelstand zu entgehen, kommt er zur Erörterung einer zweiten Schwierigkeit, die sich bei sehr geringen Excentricitäten einstellt. Dieselbe erweist sich als eine künstliche und wird vermieden, wenn man nicht die Kreise zum Ausgangspunkte nimmt, auf welche die Keplerschen Ellipsen sich bei verschwindenden Excentricitäten reduciren, sondern die von den Planeten beschriebenen Bahnen in dem Falle der periodischen Lösungen der ersten Art, die im Capitel III erörtert sind.
Die folgenden Abschnitte erläutern die ersten Gyldén’schen Methoden, welche auf Principien beruhen, die nicht ohne Analogie mit den eben besprochenen sind. Dieselben überwinden die nämlichen Hindernisse, besiegen aber ausserdem im einzelnen viele Schwierigkeiten durch ebenso elegante wie geistreiche Kunstgriffe. Sodann werden einige Paragraphen dem Gyldénschen Verfahren zur Integration gewisser Differentialgleichungen gewidmet; besonders verweilt der Verf. bei der einen derselben, die auch viele andere Mathematiker betrachtet haben. Die Darstellung dieser Methoden weicht oft bedeutend von derjenigen ihrer Erfinder ab. Der Verf. geht eben nicht darauf aus, die bequemste Form für numerische Anwendungen ausfindig zu machen, sondern vielmehr nach seiner Auffassung ihr Wesen und ihre innere Verwandtschaft zu beleuchten.
Wenn nun dadurch die Einsicht gewonnen ist, dass die säcularen Glieder sich beseitigen lassen, die bei den älteren Rechnungsmethoden auftreten, so stellt sich hier für die Rechner oft ein bedenklicheres Hindernis ein: die Anwesenheit kleiner Divisoren, wenn die mittleren Bewegungen nahezu commensurabel sind. Dann werden die dargestellten Verfahrungsarten unanwendbar, und man muss entweder zu der Delaunayschen, oder zu der Bohlinschen Methode greifen, die der ersteren nahe verwandt ist, und der ein längerer Abschnitt gewidmet wird. Dieselbe führt jedoch wieder grosse Multiplicatoren ein, welche in manchen Fällen die Näherung zu einer ungenügenden herabsetzen. Daher blieb ein letzter Schritt zu thun; dies ist durch die letzten Gyldén’schen Methoden geschehen. “Wenn dieselben auch in den Augen eines reinen Mathematikers noch nicht fertig sind, so sind sie doch die vollkommensten, welche wir können”.

MSC:

70F15 Celestial mechanics
70-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to mechanics of particles and systems
37N05 Dynamical systems in classical and celestial mechanics
34E05 Asymptotic expansions of solutions to ordinary differential equations

Citations:

JFM 24.1130.01