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Verallgemeinerung des Sylow’schen Satzes. (German) JFM 26.0158.01

Ist die Ordnung \(h\) der Gruppe \(\mathfrak H\) durch die Primzahl \(p\) teilbar, so enthält \(\mathfrak H\), wie schon Cauchy gezeigt hat, Elemente der Ordnung \(p\), und zwar \(mp-1\). Der Verfasser weist nach, dass die Anzahl derselben stets eine Zahl der Form \((p-1)(np+1)\) ist. Aus jenem Satze von Cauchy hat Hr. Sylow, gestützt auf die Substitutionentheorie, den allgemeineren hergeleitet, dass jede Gruppe, deren Ordnung durch die \(\varkappa^{\text{te}}\) Potenz der Primzahl \(p\) teilbar ist, Untergruppen der Ordnung \(p^\chi\) besitzen muss. Einen anderen, einfachen Beweis, welcher die Sprache der Substitutionentheorie vermeidet, hat der Verfasser in der Arbeit “Ueber endliche Gruppen” gegeben. Einen neuen Beweis findet man in §3 der vorliegenden Arbeit. Die Anzahl jener Untergruppen muss nun, wie in §4 gezeigt wird, \(\equiv1\) (mod. \(p\)) sein. Dieses Theorem ist in einem speciellen Falle schon von Hrn. Sylow bewiesen worden, für den Fall, dass \(\varkappa=\lambda\), wenn \(\lambda\) die höchste in \(h\) enthaltene Potenz von \(p\) bezeichnet. In diesem Falle sind je zwei in \(\mathfrak H\) enthaltene Gruppen der Ordnung \(p^\lambda\) conjugirt, und ihre Anzahl \(np+1\) ist ein Divisor von \(h\), was für \(\varkappa<\lambda\) im allgemeinen nicht mehr zutrifft.
Der Verfasser gewinnt seine Ergebnisse auf einem neuen Wege aus einem noch nicht bemerkten Satze der Gruppentheorie, der so lautet: In einer Gruppe der Ordnung \(h\) ist die Anzahl der Elemente, deren Ordnung in \(g\) aufgeht, durch den grössten gemeinsamen Divisor von \(g\) und \(h\) teilbar.

MSC:

20D20 Sylow subgroups, Sylow properties, \(\pi\)-groups, \(\pi\)-structure
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