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Bildung zusammengesetzter Gruppen. (German) JFM 26.0160.01

Will man die Gruppen bilden, die aus einer endlichen Zahl von Operationen bestehen, so kann man zuerst die einfachen Gruppen bestimmen und dann die zusammengesetzten Gruppen aus ihren einfachen Bestandteilen aufbauen. Der Aufbau einer zusammengesetzten Gruppe \(G\) wird durch eine Reihe der Zusammensetzung \(G\), \(H\), \(K\), \(L\), ..., 1 charakterisirt. Hier bedeutet z. B. \(K\) eine ausgezeichnete Untergruppe von \(H\), und es soll nicht möglich sein, eine von \(H\) und \(K\) verschiedene Gruppe zu finden, die \(K\) umfasst und in \(H\) ausgezeichnet enthalten ist, d. h. es soll \(K\) eine ausgezeichnete Maximaluntergruppe von \(G\) sein. So ist in der Reihe der Zusammensetzung jede Gruppe ausgezeichnete Maximaluntergruppe der vorhergehenden. Es sind nun durch die Reihe der Zusammensetzung gewisse Gruppen \(G/H\), \(H/K\), ... völlig bestimmt (vergl. Hölder, Math. Ann. XXXIV. 31 und C. Jordan, S. M. F. Bull. I. 1873. 46), welche Verf. als Factorgruppen von \(G\) bezeichnet. Trotzdem dieselbe Gruppe \(G\) mehrere Reihen der Zusammensetzung zulassen kann, so ist doch die Gesamtheit ihrer Factorgruppen eine völlig bestimmte. Man kann jetzt durch Umkehrung der so eben angestellten Betrachtung die Aufgabe formuliren, eine Gruppe zu bilden, welche gegebene Factorgruppen hat. Diese Aufgabe lässt vielfach mehrere Lösungen zu. Die Factorgruppen sind stets einfache Gruppen. Es genügt häufig, statt der Factorgruppen die Ordnungen derselben, also blosse Zahlen, anzugeben. Die Angabe dieser Zahlen leistet dasselbe wie die Angabe der Factorgruppen, wenn man weiss, dass jede dieser Zahlen nur einer einzigen einfachen Gruppe als Ordnung angehört. Die Ordnungen der Factorgruppen einer Gruppe \(G\) sind das, was Herr C. Jordan die Factoren der Zusammensetzung der Gruppe \(G\) nennt.
Um nun die Gruppe \(G\) aus ihren Factorgruppen zu bilden, hat man die Reihe der Zusammensetzung von ihrem rechten Ende her zu construiren. Man hat dabei mehrmals das Problem zu lösen: “eine Gruppe \(\Delta\) zu bilden, welche eine gegebene Gruppe \(\Gamma\) auf die Weise ausgezeichnet enthält, dass zugleich \(\Delta/\Gamma\) mit einer gegebenen Gruppe übereinstimmt”. Bei der Anwendung auf die Reihe der Zusammensetzung ist jedesmal \(\Delta/\Gamma\) eine einfache Gruppe. Die vorliegende Arbeit enthält nun die Lösung des eben genannten Problems für eine Reihe specieller Fälle, wobei \(\Delta/\Gamma\) die teils als einfache, teils als zusammengesetzte Gruppe angenommen ist. Es ist eine Einteilung des Ganzen in Abschnitte vorgenommen worden, so dass in jedem der Abschnitte, vom zweiten bis zum elften, eine andere Gruppe die Rolle der gegebenen Gruppe \(\Gamma\) spielt. Dabei wird \(\Gamma\) der Reihe nach angenommen als alternirende Gruppe, als Gruppe der Modulargleichung, cyklische Gruppe, nichtcyklische Gruppe der Ordnung \(p^2\), metacyklische Gruppe u. s. w.
Es ist noch zu bemerken, dass die Gruppe \(\Delta/\Gamma\) einfach ist oder nicht, je nachdem die ausgezeichnete Untergruppe \(\Gamma\) der Gruppe \(\Delta\) ausgezeichnete Maximaluntergruppe ist oder nicht; die Ordnung der Gruppe \(\Delta/\Gamma\) ist zugleich der Index, welcher der Gruppe \(\Gamma\) als Untergruppe von \(\Delta\) zukommt. Wird nun etwa verlangt, dass \(\Gamma\) eine ausgezeichnete Maximaluntergruppe der Gruppe \(\Delta\) ist und den Index 60 besitzt, so heisst dies, dass \(\Delta/\Gamma\) einfach und von der \(60^{\text{sten}}\) Ordnung sein soll. Nun giebt es aber nur eine einfache Gruppe \(60^{\text{ster}}\) Ordnung, weshalb \(\Delta/\Gamma\) mit der Ikosaedergruppe übereinstimmen muss. So kann z. B. die Aufgabe, eine Gruppe zu bestimmen, welche eine cyklische Gruppe \(m^{\text{ter}}\) Ordnung als ausgezeichnete Maximaluntergruppe vom Index 60 enthält, auch so ausgedrückt werden: Es ist eine Gruppe \(\Delta\) zu bilden, die mit der Ikosaedergruppe so meroedrisch isomorph ist, dass jeder Operation von \(\Delta\) eine Operation der Ikosaedergruppe und der identischen Operation der letzteren eine cyklische Untergruppe \(m^{\text{ter}}\) Ordnung in der Gruppe \(\Delta\) entspricht. Diese Aufgabe ist im vierten Abschnitte von § 13 bis § 17 behandelt.
Die Aufgabe der Bestimmung einer Gruppe aus ihren Factorgruppen konnte auch für verschiedene Fälle gelöst werden. Die Fälle, in denen die Factoren der Zusammensetzung zwei oder drei Primzahlen oder vier gleiche Primzahlen sind, sind bereits völlig erledigt (vergl. Netto, Substitutionentheorie (1882, JFM 14.0090.01) 133; Young, Cole and Glover, American J. XV; Hölder, Math. Ann. XLIII). Verf. giebt im letzten Abschnitt dieser Arbeit noch alle Gruppen, deren Factoren der Zusammensetzung in irgend einer Ordnung mit den Zahlensystemen \[ 60,p;\quad 168,p;\quad 60,p,p;\quad 60,p,q; \]
\[ 168,p,p;\quad 168,p,q;\quad 60,60,2 \] übereinstimmen; dabei bedeuten \(p\) und \(q\) Primzahlen.

Citations:

JFM 14.0090.01
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References:

[1] Vergl. Mathematische Annalen Bd. 34, p. 31 und C. Jordan, Bulletin de la société mathématique de France. T. I, 1873, p. 46.
[2] Vergl. Netto: Substitutionentheorie und ihre Anwendung auf die Algebra 1882, p. 133; Young: On the determination of groups whose order is a power of a prime American Journal of Mathematics Vol. XV; Cole and Glover: On groups whose orders are products of three prime factors, Am. Journ. Vol. XV; Hölder: Die Gruppen der Ordnungenp 3,pq 2,pqr,p 4, Mathematische Annalen Bd. 43. Hinsichtlich des Zeitverhältnisses der letzten drei Arbeiten bemerke ich, dass die meinige bereits an die Redaction eingesandt war, als die beiden Abhandlungen im Aprilhefte und Julihefte des American Journal (1893) erschienen. Die Untersuchung der Herren Cole und Glover ist in den Beweisen nicht vollständig, auch ist die Zahl der verschiedenen vorbandenen Gruppen nicht immer richtig bestimmt. Als Beispiel mögen gewisse Gruppen der Ordnungpq 2 dienen. Es giebt, wennq?1 durchp theilbar ist,p undq als Primzahlen vorausgesetzt, gewisse besondere Gruppen, die durch die Relationen $$S\^p = 1,{\(\backslash\)mathbf{ }}S\^{ - 1} T_1 S = T_1\^\(\backslash\)varrho ,S\^{ - 1} T_2 S = T_2\^{\(\backslash\)varrho \^\(\backslash\)mu } ,T_1\^q = T_2\^q = 1,{\(\backslash\)mathbf{ }}T_1 T_2 = T_2 T_1 $$ definirt werden können. Dabei bedeutet ? eine Zahl, die modq zum Exponentenp gehört und ? eine Zahl aus der Reihe 1, 2, 3,...p?1. Diese Gruppen sind von den Herren Cole und Glover aufgefunden und in ganz entsprechender Weise dargestellt worden. Sie gehen dabei von der Voraussetzung der Existenz der Gruppen aus, leiten daraus die Relationen ab und zeigen hinterher die Erfüllbarkeit solcher Relationen an einem Zahlenbeispiele. Dass aber die gewonnenen Relationen unter den überp, q, ? und ? gemachten Annahmen stets eine Gruppe der Ordnungpq 2 definiren, wird von ihnen nicht gezeigt. Ausserdem ist die Anzahl der in den Relationen enthaltenen Gruppen fürp>2 gleich zwei angegeben (?2 und ?2 vergl. a. a. O. S. 206 und S. 207); diese Anzahl ist aber für eine ungerade Primzahlp gleich $$\(\backslash\)frac{{p + 1}}{2}$$ .
[3] Vergl. Math. Annalen Bd. 43; p. 330.
[4] Vergl. Annalen Bd. 34, p. 31 u. 32.
[5] Cf. Camille Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques, 1870, p. 56.
[6] Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade. 1884. pag. 232 und 233.
[7] Vergl. Mathematische Annalen Bd. 40, p. 62, Lehrsatz V.
[8] Vergl. Dziobek, Grunerts Archiv Theil 68, p. 226 und p. 230.
[9] Journal de l’école polytechnique, cahier 17, p. 19.
[10] Vergl. z. B. Klein-Fricke, Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen 1890, I. Bd., p. 488 ff.
[11] Exercices d’analyse etc. 1840, tome III, p. 250.
[12] Vergl. Klein-Fricke, Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen, Bd. I, p. 219.
[13] Vergl. Dyck, Mathematische Annalen Bd. 20, p. 35 und Hamilton, Philosophical magazine, fourth series vol. XII 1856, p. 446.
[14] Mathematische Annalen Bd. 43, p. 334.
[15] Wir verdanken diese Relationen Herrn Dyck. Vergl. Annalen Bd. 20, p. 40 und p. 41. Die OperationenA 1 undA 3 sind genau die ebenso benannten des Herrn Dyck.
[16] Vergl. Klein-Fricke Bd. I, p. 219 Anm.
[17] Vergl. Klein-Fricke, I. Bd., p. 393, wo dasselbe Beweismittel verwendet wird.
[18] Vergl. diese Annalen Bd. 43, p. 314.
[19] Vergl. diese Annalen Bd. 43, p. 307 ff.
[20] Vergl. ebendaselbst diese Annalen Bd. 43, p. 312.
[21] Vergl. Math. Annalen Bd. 43, p. 311.
[22] Vergl. Dyck, Math. Annalen Bd. 20, p. 15.
[23] Vergl. Math. Annalen Bd. 43, p. 317.
[24] Vergl. z. B. diese Annalen Bd. 43, p. 305.
[25] Vergl. auch Bolza, Am. Journ. of Math. Vol. XI, p. 201.
[26] Vergl. diese Annalen Bd. 43, p. 330.
[27] Math. Annalen Bd. 40, p. 67.
[28] Vergl. Math. Annalen Bd. 43, p. 409 und 410.
[29] Mathematische Annalen Bd. 40, p. 55.
[30] American Journal of Mathematics, Vol. XIV, p. 378, ibidem American Journal of Mathematics, Vol. XV, pag. 303.
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