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Sur quelques propriétés des groupes de substitutions d’ordre donné. (French) JFM 26.0163.01

Ist die Ordnung einer Substitutionsgruppe a priori gegeben, so muss diese Gruppe meistens gewissen Bedingungen genügen z. B. ist eine Gruppe von der Ordnung \(p_1 p_2\dots p_np^a\), wo \(p_1\), \(p_2\), ..., \(p_n\), \(p\) von einander verschiedene Primzahlen sind und \(p_1<p_2<\cdots<p_n<p\) ist, immer zusammengesetzt und sogar auflösbar (Frobenius, Berl. Ber., 4. Mai 1893; F. d. M. XXV. 1893/94. 202-203, JFM 25.0202.01). Sind umgekehrt Eigenschaften einer Gruppe gegeben, so muss ihre Ordnungszahl in sehr vielen Fällen gewisse Bedingungen erfüllen: Ist z. B. \(p^m\) die höchste in der Ordnungszahl \(g\) einer Gruppe \(G\) enthaltene Potenz der Primzahl \(p\), so enthält diese Gruppe wenigstens eine Untergruppe von der Ordnung \(p^m\), und es ist \[ g = p^m\nu(1 + np),\tag{1} \] wo \(\nu\) relativ prim zu \(p\) und \(p^m\nu\) die Ordnung der Gruppe derjenigen Substitutionen von \(G\) ist, welche mit einer in \(G\) enthaltenen Gruppe von der Ordnung \(p^m\) vertauschbar sind; überdies lassen sich die verschiedenen Untergruppen der Ordnung \(p^m\) aus einer von ihnen durch Transformation mittels der Substitutionen von \(G\) ableiten (Sylow, Math. Ann. V. 584). Der Verf. stellt nun eine Anzahl weiterer Sätze auf, welche sich auf die beiden oben genannten Probleme beziehen; unter den von ihm gefundenen Resultaten sind besonders folgende hervorzuheben:
1) Die Ordnung \(g\) einer Gruppe \(G\) von der Klasse \(N-u_0\) und vom Grade \(N\) ist ein Teiler des Products \(N(N-1)\dots(N-u_0)\). Verf. giebt davon mehrere Beweise.
2) Ist in der Sylow’schen Formel (1) \(m>1\) und \(n<p\), so ist die Gruppe \(G\) zusammengesetzt und kann nur dann primitiv sein, wenn sie linear und vom Grade \(p^\Theta\) ist.
3) Ist in der Formel (1) \(m>1\) und enthält \(G\) eine Substitution von der Ordnung \(p^m\), so kann \(G\) nur dann einfach oder primitiv sein, wenn \(n\geqq p^{m-1}\) ist.

Citations:

JFM 25.0202.01
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Full Text: Numdam EuDML