On the differentiation of a class of trigonometric series. (Sur la différentiation d’une classe de séries trigonométriques.) (French) JFM 26.0271.02

Lerch, M.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) XII, 351-361 (1895).

Es handelt sich darum, die Ableitung von solchen Reihen zu finden, bei denen die gewöhnliche Methode divergente Resultate liefert. Um zu zeigen, dass die Ableitung von \[ f(x) = \sum_{\nu=1}^\infty \frac{c_\nu}{\nu}\sin2\nu x\pi\qquad (\lim_{\nu=\infty} \frac{c_\nu}{\nu} = 0)\tag{1} \] durch \[ f'(x) = \frac{\pi}{\sin x\pi} \sum_{\nu=0}^\infty (c_\nu-c_{\nu+1})\sin(2\nu+1)x\pi\tag{2} \] dargestellt wird, wo \(c_0=0\) ist, wendet der Verf. auf die Reihe \[ \frac1{\pi}g(x) = \lim_{n=\infty}\sum_{\nu=0}^n (c_\nu-c_{\nu-1}) \frac{\sin (2\nu+1)x\pi}{\sin x\pi}\qquad(0<x<1) \] die Identität \[ \sum_{\nu=0}^n a_\nu b_\nu = \sum_{\nu=0}^{n-1} A_\nu(b_\nu-b_{\nu+1}) + A_nb_n,\quad A_\nu = a_0 + a_1 +\cdots+ a_\nu \] an, wobei gesetzt ist: \[ a_\nu = c_\nu - c_{\nu-1},\quad b_\nu = \frac{\sin(2\nu+1)x\pi}{\sin x\pi}. \] Bezeichnen \(x_0\), \(x_1\) zwei Punkte im Innern des Intervalls \((0\dots1)\), in welchem \(g(x)\) gleichmässig convergirt, so ergiebt sich durch Integration von \(x_0\) bis \(x_1\): \[ \int_{x_0}^{x_1} g(x)dx = \lim_{n=\infty}\left[\sum_{\nu=1}^n \frac{c_\nu}{\nu} (\sin2\nu x_1\pi - \sin2\nu x_0\pi) + R_n\right], \] wo \[ R_n = c_{n+1}\int_{x_0}^{x_1} \frac{\pi\sin(2n+1)x\pi}{\sin x\pi}dx \] gesetzt ist; durch den Nachweis, dass \(R_n=0\) für \(n=\infty\) ist, wird hieraus geschlossen, dass durch (2) die Ableitung von (1) dargestellt wird.
Entsprechend können für verwandte Reihen die Ableitungen aufgestellt werden; die gefundenen Formeln werden benutzt zur Summirung von Reihen, z. B. der Reihe \[ \begin{split} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \frac{\Gamma'(u+n)}{\Gamma(u+n+1)}e^{2\nu\pi i(u+n)}\\ = -\frac{\pi e^{u\pi i}}{\sin u\pi} [-\Gamma'(1) + \cot u\pi + \log2\sin v\pi + \pi i(v-\frac12)],\end{split} \] wo \(v\) zwischen 0 und 1 liegt.

Reviewer: Weltzien, Prof. (Zehlendorf)

MSC:

42A16

Fourier coefficients, Fourier series of functions with special properties, special Fourier series

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Reihen. Capitel 1. Allgemeines.

Keywords:

Differentiation of trigonometric series