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Théorie générale des systèmes d’équations différentielles linéaires et homogènes. (French) JFM 26.0347.01

Toulouse Ann. VIII, 1-24 (1894); IX, 25-100, 1-76 (1895); auch sep. Paris. Gauthier-Villars et Fils (1895).
Die Arbeit enthält eine ausführliche Darlegung der allgemeinen Theorie der Systeme linearer homogener Differentialgleichungen, wie sie in neuester Zeit sich gestaltet hat. Der Verf. wendet dabei im allgemeinen die Principien an, die Herr Fuchs in seiner grundlegenden Abhandlung über lineare homogene Differentialgleichungen \(n^{\text{ter}}\) Ordnung (J. für Math. LXVI) aufgestellt hat, mit Berücksichtigung der nachfolgenden Arbeiten der Herren Frobenius, Thomé u. s. w., insbesondere der Untersuchungen des Herrn Horn über Systeme linearer Differentialgleichungen. Die Arbeit selbst zerfällt in sieben Capitel, deren erstes die Existenz der Integrale, die Definition der Fundamentalsysteme der Lösungen und die Reduction der Zahl der Gleichungen durch die Kenntnis einer Lösung zum Gegenstand hat. Die Convergenz der nach Potenzen von \(x\) fortschreitenden Integralreihen wird für das “kanonische” System \[ x\frac{dy_i}{dx} = \sum_k a_{ik}y_k\qquad(i,\,k = 1,2,\dots,n), \] wo die \(a_{i,k}\) in der Umgebung des Nullpunkts holomorph sind, erwiesen und damit neben dem Fall, dass der Nullpunkt nicht singulär ist, zugleich der allgemeinere Fall umfasst, dass er ein zwar singulärer, aber nach der Thomé’schen Bezeichnung “regulärer” Punkt der Differentialgleichung ist. Die dem Verfasser eigentümliche Beweismethode, die er bereits früher (Ann. de l’Éc. Norm., F. d. M. XVIII. 1886. 283, JFM 18.0283.01) angewandt hat, leidet indes an dem Mangel, dass aus ihr die Ausdehnung des Convergenzbeweises der erhaltenen Reihen bis zum nächstgelegenen singulären Punkte nicht ersichtlich ist. Denn die folgenden allgemeinen Ueberlegungen über die Fortsetzung der Integrale (p. 12) genügen nicht zur Feststellung der für lineare Differentialgleichungen so charakteristischen Thatsache, dass ihre Integrale feste, d. h. von ihren willkürlichen Anfangswerten nicht abhängende singuläre Punkte besitzen. Das zweite Capitel ist der Theorie der von Herrn Weierstrass für die Untersuchung der bilinearen Formen eingeführten elementaren Teiler der Determinante \(\begin{vmatrix} pA_{ik}+qB_{ik}\end{vmatrix}\) gewidmet. Die Principien derselben werden soweit entwickelt, als sie bei dem Studium der Differentialgleichungen zur Anwendung kommen. Das dritte Capitel handelt von den singulären Punkten des Differentialgleichungssystems, dem Verhalten der Integrale in ihrer Umgebung und der Einteilung des zu einem singulären Punkte gehörigen Fundamentalsystems, das nach der Methode des Herrn Fuchs aufgestellt wird, in Untergruppen mit Hülfe der Elementarteiler der Fundamentalgleichung. Im vierten Capitel wird zunächst die allgemeine analytische Form der Elemente eines Fundamentalsystems in der Fuchs’schen Darstellung, sowie in Ausdrücken mittels der successiven Differenzen eines gewissen Polynoms gegeben. In besonderer Berücksichtigung der regulären Systeme folgt alsdann die vollständige Ausführung der Integration des “kanonischen” Systems nach der Methode des Herrn Horn (Math. Ann. XXXIX, s. F. d. M. XXIII. 1891. 325, JFM 23.0325.01). Das kanonische System ist indes nichtdas einzige reguläre System, und das fünfte Capitel enthält den Nachweis, dass alle regulären Systeme durch eine Folge von Substitutionen der Form \[ y_i|x^ky_i\text{ oder }y_i|z_i + \sum_l m_ly_l\qquad(l = 1,2,\dots,i-1, i+1,\dots,n) \] auf kanonische Systeme zurückgeführt werden können. Das sechste Capitel beschäftigt sich mit Systemen von Differentialgleichungen, deren Coefficienten einfach oder doppelt periodisch sind, indem auf sie die allgemeinen Sätze der Herren Floquet und Picard bezüglich der linearen Differentialgleichungen \(n^{\text{ter}}\) Ordnung ausgedehnt werden. Im siebenten Capitel endlich wird die Reduction eines algebraischen Differentialgleichungssystems beliebiger Ordnung auf die Jacobi-Weierstrass’sche Form, sowie die Definition der Irreductibilität nach Herrn Königsberger (Lehrbuch der Theorie der Differentialgleichungen, Leipzig 1889, JFM 21.0292.01) entwickelt, ferner die Theorie des Herrn Darboux über die Integration der linearen homogenen Differentialgleichungssysteme durch die “Integrale der Systeme” \(f(x, y_1,\dots,y_n)=\) const. (C. R. 1880, F. d. M. XII. 1850. 271, JFM 12.0271.04) und der Appell’sche Satz über die invarianten Functionen der Elemente eines Fundamentalsystems von Lösungen und deren Derivirten beim Uebergang in ein anderes Fundamentalsystem reproducirt. Zum Schluss folgen einige Noten zur Theorie der Determinanten.
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