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Ueber die allgemeinste Differentialresolvente der homogenen linearen Differentialgleichungen. (German) JFM 26.0358.01
Der Grundgedanke des Herrn Picard bei der gruppentheoretischen Behandlung der homogenen linearen Differentialgleichungen liegt darin, dass man (ebenso wie bei der Galois’schen Theorie der algebraischen Gleichungen) eine Function der Fundamentallösungen der Differentialgleichung bildet, welche nur die identische Transformation der homogenen linearen Gruppe zulässt. Ist \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_n\) ein System von Fundamentallösungen der homogenen linearen Differentialgleichung \[ x^{(n)} + p_1x^{(n-1)} +\cdots+ p_nx = 0, \] so muss bewiesen werden, dass man immer \(n\) Functionen \(u_1\), \(u_2\), ..., \(u_n\) der unabhängigen Veränderlichen \(t\) derart finden kann, dass die von Hrn. Picard benutzte Resolvente \[ V = u_1x_1 + u_2x_2 +\cdots+ u_nx_n \] wirklich verschiedene Werte annimmt, wenn man die Functionen \(x_i\) verschiedenen linearen Substitutionen unterwirft. Verf. zeigt nun, dass dies schon der Fall ist, wenn man \(u_k=t^{(k-1)n}\) wählt, und berechnet für den Fall \(n=2\) die “Differentialresolvente”, d. i. die homogene lineare Differentialgleichung von der Ordnung \(n^2\), der die Function \(V\) bei dieser Wahl von \(u_k\) genügt.

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References:
[1] Picard, Comptes rendus 1883. Annales de Toulouse 1887. Comptes rendus 1894. Annalen Bd. 46.
[2] Ein einfacher Beweis dieses Satzes findet sich in H. Webers Algebra p. 457.
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