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Sulle equazioni differenziali lineari di ordine qualunque, che definiscono curve contenute in superficie algebriche. (Italian) JFM 26.0360.05

Die vorliegenden Untersuchungen (siehe auch JFM 26.0360.01; JFM 26.0360.02; JFM 26.0360.03; JFM 26.0360.04), die einer Anregung des Hrn. F. Klein ihre Entstehung verdanken, sind ein neuer Beweis für die nicht überall genügend gewürdigte Wichtigkeit, die der geometrischen Anschauung für die Behandlung analytischer Probleme zukommt. Sind auch die Ergebnisse, die der Verfasser gewonnen hat, zum Teil bereits bekannt, so gelangt man doch gerade durch die von ihm vorgeschlagene geometrische Fragestellung zu einer einheitlichen Herleitung der von verschiedenen Forschern durch verschiedenartige Kunstgriffe gefundenen Sätze, und es eröffnet sich überdies die Aussicht, dass auf diesem Wege, wenn er nur weiter verfolgt wird, noch erhebliche Fortschritte zu erreichen sein werden.
Vorweg möge noch hervorgehoben werden, dass der Verfasser mit der einschlägigen deutschen und französischen Litteratur gut bekannt ist; entgangen ist ihm jedoch eine wichtige Arbeit des Hrn. Borel (F. d. M. XXIV. 1892. 292, JFM 24.0292.02), die seine Untersuchungen in mehrfacher Hinsicht ergänzt, und noch mehr ist zu bedauern, dass er Lie’s grundlegende Abhandlung (Leipziger Ber. 1891. 253) nicht berücksichtigt hat.
Nach dem Vorgange von Halphen kann man jeder linearen homogenen Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung eine Curve \(\Gamma\) zuordnen, indem man die \(n\) linear unabhängigen Integrale \(y_1\), ..., \(y_n\) als homogene Coordinaten in einem \((n-1)\)-fach ausgedehnten Raume \(S_{n-1}\) auffasst. Durchläuft die unabhängige Veränderliche geschlossene Wege in der complexen Ebene, so erleiden die \(y_1\), ..., \(y_n\) lineare homogene Substitutionen, die in ihrer Gesamtheit eine discontinuirliche Gruppe, die Monodromiegruppe der Differentialgleichung, bilden, und es ist daher die Curve \(\Gamma\) invariant gegenüber einer discontinuirlichen Gruppe von Collineationen des \(S_{n-1}\).
Bei dieser Auffassung erhält die Aufgabe des Hrn. Fuchs, alle linearen homogenen Differentialgleichungen gegebener Ordnung zu bestimmen, bei denen zwischen den \(y_1\), ..., \(y_n\) homogene Relationen von höherem als dem ersten Grade bestehen, das geometrische Bild, zu untersuchen, wann die Curve \(\Gamma\) in algebraischen Mannigfaltigkeiten des \(S_{n-1}\) enthalten ist, die ihrerseits bei jener Gruppe von Collineationen in sich übergehen, und man gelangt so zu einer Fragestellung, die von anderer Seite her bereits Gegenstand eingehender Untersuchungen geworden ist.
Für die Folge macht der Verfasser die Voraussetzung, dass die Coefficienten der Differentialgleichung algebraische Functionen von \(x\) sind; wenn er noch hinzufügt: “die zu derselben Riemann’schen Fläche gehören sollen”, so ist das im Grunde überflüssig; denn beliebig viele gegebene algebraische Functionen von \(x\) lassen sich stets als rationale Functionen einer einzigen algebraischen Function von \(x\) darstellen. Ferner sollen die singulären Stellen der Differentialgleichung, in der Ausdrucksweise des Herrn Fuchs, Stellen der Bestimmtheit sein.
Der einfachste Fall besteht nun darin, dass die Curve \(\Gamma\) selbst algebraisch sein soll; ist die Anzahl der projectiven Transformationen von \(\Gamma\) in sich unendlich, so muss die Curve \(\Gamma\) sogar rational sein. Bei dieser Annahme kann nur eine der drei Möglichkeiten eintreten:
1) Die Differentialgleichung ist algebraisch integrirbar, abgesehen höchstens von einem allen Lösungen gemeinschaftlichen Factor, der die Exponentialfunction eines Abel’schen Integrales ist.
2) Die Differentialgleichung lässt sich auf eine andere derselben Ordnung mit constanten Coefficienten reduciren, wozu nötigenfalls die Adjunction einer Quadratwurzel erforderlich wird.
3) Die Differentialgleichung lässt sich auf eine lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung oder, was auf dasselbe herauskommt, auf eine Riccati’sche Differentialgleichung reduciren.
Diesem Falle am nächsten steht der, dass eine einzige homogene Relation zwischen den \(y_1\), ..., \(y_n\) besteht, dass also die Curve \(\Gamma\) auf einer \((n-2)\)-fach ausgedehnten algebraischen Mannigfaltigkeit \(F_{n-2}\) des \(S_{n-1}\) liegt, während sie selbst transcendent ist. Für \(n=4\) gelangt man so zu der Frage nach den algebraischen Oberflächen des euklidischen Raumes, die eine Gruppe projectiver Transformationen in sich gestatten, also zu einem Probleme, das in neuerer Zeit mehrfach behandelt und von Hrn. Sophus Lie, der es ursprünglich gestellt hatte, auch vollständig gelöst worden war, und nun ist das Interessante, dass der Verfasser von hier aus nicht nur die Resultate wiederfindet, zu denen bereits die Herren Goursat, Halphen, Ludwig Schlesinger und andere gelangt waren, sondern auch erheblich darüber hinauskommt.
Schliesslich betrachtet Herr Fano lineare homogene Differentialgleichungen beliebiger Ordnung und zeigt, dass bei jener Voraussetzung über die Curve \(\Gamma\) die Integration, abgesehen von Quadraturen und algebraischen Operationen, stets entweder auf eine lineare Differentialgleichung dritter Ordnung oder auf eine oder zwei lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung zurückgeführt werden kann.

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