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Verallgemeinerung eines Satzes von den algebraischen Integralen der Differentialgleichungen. (German) JFM 26.0382.01

Es handelt sich darum, das Analogon zu dem Satze zu finden, dass, wenn ein Zweig einer irreductiblen algebraischen Function einer algebraischen Differentialgleichung Genüge leistet, auch alle anderen Zweige Integrale dieser Differentialgleichung sind. Der gesuchte allgemeine Satz lautet: Wenn eine algebraische partielle Differentialgleichung \(m^{\text{ter}}\) Ordnung in Bezug auf \(x_2\): \[ \begin{split} \frac{\partial^my}{\partial x_2^m} = f\left(x_1,x_2,\dots,x_\nu, \frac{\partial y}{\partial x_2}, \frac{\partial^2y}{\partial x_2\partial x_3},\dots,\right.\\ \left.\frac{\partial^{m-1}y}{\partial x_2^{m-1}}, \frac{\partial^my}{\partial x_2^{m-1}\partial x_3},\dots, \frac{\partial^\sigma y}{\partial x_\nu^\sigma}\right),\end{split}\tag{1} \] in welcher \(f\) eine algebraische, irreductible Function der eingeschlossenen Grössen bedeutet, mit einer algebraischen partiellen Differentialgleichung \(\mu^{\text{ter}}\) Ordnung in Bezug auf \(x_1\) \[ \begin{split} \frac{\partial^\mu y}{\partial x_1^\mu} = F\left(x_1,x_2,\dots,x_\nu, \frac{\partial y}{\partial x_1}, \frac{\partial^2y}{\partial x_1\partial x_2},\dots,\right.\\ \left.\frac{\partial^{\mu-1}y}{\partial x_1^{\mu-1}}, \frac{\partial^\mu y}{\partial x_1^{\mu-1}\partial x_2},\dots, \frac{\partial^\tau y}{\partial x_\varrho^\tau}\right)\end{split}\tag{2} \] ein Integral gemein hat, welches nicht schon einer algebraischen Differentialgleichung genügt, die in Bezug auf \(x_1\) sich höchstens bis zur \((\mu-1)^{\text{ten}}\), in Bezug auf \(x_2\) höchstens bis zur \((m-1)^{\text{ten}}\) Ordnung erhebt, so wird die Differentialgleichung, die entsteht, wenn man die Gleichung (1) \(\mu\)-mal nach \(x_1\) differentiirt und \(\frac{\partial^\mu y}{\partial x_1^\mu}\) durch die rechte Seite der Gleichung (2) ersetzt, durch alle Integrale der partiellen Differentialgleichung (1) befriedigt werden.

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Full Text: Crelle EuDML