On the notions of limit and continuity and on some general properties of continuous functions of any number of variables. (Sur les notions de limite et de continuité et sur quelques propriétés générales des fonctions continues d’un nombre quelconque de variables.) (French) JFM 26.0426.02

Riquier

Ann. de l’Éc. Norm. (3) XII, 197-210 (1895).

Der Verfasser entwickelt zunächst, von dem Begriff der ganzen Zahl ausgehend, den Begriff der rationalen und den der allgemeinen Zahl (expression infinitésimale), letzteren ähnlich wie G. Cantor auf Grund der Reihen rationaler Zahlen (Fundamentalreihen). Der Grenzbegriff gründet sich auf die Betrachtung der vom Verf. so genannten “Varianten”. Eine Variante ist eine von gewissen Indices \(m\), \(n\), ... abhängende allgemeine Zahl \(v_{m,n,\dots}\). Ordnet man nach irgend einem Gesetze jedem Werte von \(v_{m,n,\dots}\) eine rationale Zahl \(a_{m,n,\dots}\) zu, jedoch so, dass der absolute Betrag \(|v_{m,n,\dots}-a_{m,n,\dots}|<\varepsilon_{m,n,\dots}\) ist, wo \(\varepsilon_{m,n,\dots}\) das allgemeine Glied einer die Null darstellenden Fundamentalreihe ist, so wird \(a_{m,n,\dots}\) entweder das allgemeine Glied einer Fundamentalreihe sein oder nicht. Im ersteren Falle heisst die Variante \(v_{m,n,\dots}\) convergent und die allgemeine Zahl \((a_{m,n,\dots})\) die “Grenze” derselben. Man erkennt leicht, dass die Existenz und der Zahlenwert der Grenze unabhängig von der Wahl der Reihe \((a_{m,n,\dots})\) ist. Eine Function \(f(x, y,\dots)\) der Variabeln \(x\), \(y\), ... heisst in einem Gebiete \(E_{x,y,\dots}\) stetig, wenn der einem Punkte \((U, V,\dots)\) des Gebietes entsprechende Functionswert \(f(U,V,\dots)\) die Grenze der Functionswerte \(f(u, v,\dots)\) ist; unter \((u, v,\dots)\) ist ein veränderlicher Punkt des Gebietes verstanden, welcher den Punkt \((U, V,\dots)\) zur Grenze hat. Einige Sätze über stetige Functionen beschliessen die Arbeit.

Reviewer: Hurwitz, Prof. (Zürich)

MSC:

26B05

Continuity and differentiation questions

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 1. Allgemeines.

Keywords:

Foundations of multivariate calculus