On functions of an analytic point with exponential multipliers or with rational periods. (Sur les fonctions d’un point analytique à multiplicateurs exponentiels ou à périodes rationnelles.) (French) JFM 26.0451.02

Lacour, E.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) XII, Suppl., 3-51 (1895); auch sep. Thèse. Gauthier-Villars et Fils. Paris (1895).

Die vom Verfasser im ersten Teile vorliegender Abhandlung untersuchten Functionen \(F\) sind Functionen des Ortes auf einer Riemann’schen Fläche \(T\), deren charakteristische Eigenschaften die folgenden sind. Die Fläche \(T\) werde durch die Riemann’schen Schnitte \(a\), \(b\), \(c\) in eine einfach zusammenhängende Fläche \(T'\) verwandelt. Die Functionen \(F\) sind dann auf \(T'\) meromorph, und ihr Logarithmus wächst beim Ueberschreiten eines Schnittes um eine lineare Function der überall endlichen Integrale. Zu den Functionen \(F\) gehören insbesondere die multiplicativen Functionen und die \(\Theta\)-Functionen. Die hauptsächlichsten Eigenschaften der Functionen \(F\) ergeben sich aus der Betrachtung der Begrenzungsintegrale \(\int Ud\lg F\) und \(\int\Pi d\lg F\), unter \(U\) ein Integral erster Gattung, unter \(\Pi\) ein solches dritter Gattung verstanden. Die Auswertung des ersten Begrenzungsintegrales zeigt, dass zwischen den Null- und Unendlichkeitsstellen von \(F\) Relationen bestehen, welche als Verallgemeinerung des Abel’schen Theoremes zu betrachten sind. Das zweite Begrenzungsintegral führt zu der Darstellung von \(F\) vermöge der Integrale erster und dritter Gattung. Die entsprechenden Untersuchungen führt der Verfasser im zweiten Teile der Abhandlung für eine andere Klasse von Functionen durch. Diese Functionen \(\Phi\) bilden eine Verallgemeinerung der logarithmischen Ableitungen der Functionen \(F\). Sie sind nämlich dadurch charakterisirt, dass sie auf \(T'\) meromorph sind und bei Ueberschreitung eines Schnittes um eine algebraische Function der Fläche wachsen. Endlich zeigt der Verfasser im dritten Teile der Abhandlung, dass jede Function \(\Phi\) eine lineare nicht homogene Differentialgleichung befriedigt, deren Coefficienten algebraische Functionen der Fläche sind.

Reviewer: Hurwitz, Prof. (Zürich)

MSC:

30F99

Riemann surfaces

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 1. Allgemeines.

Keywords:

Funtion theory on compact Riemann surfaces