Concerning the definition by a system of functional properties of the function \(f(z)=\frac{\sin\pi z}{\pi}\). (Concerning the definition by a system of functional properties of the function \(f(z)=\frac{\sin\pi z}{\pi}\).) (English) JFM 26.0470.04

Moore, E. H.

Annals of Math. IX, 43-49 (1895).

Die Function \(f(z)=\frac{\sin\pi z}{\pi}\) ist die einzige Function, welche durch das folgende System von Functionaleigenschaften definirt wird: \(f(z)\) soll den Charakter einer ganzen Function der complexen Veränderlichen \(z\) besitzen, an den Stellen \(z=0\), \(\pm1\), \(\pm2\), ... von der ersten Ordnung unendlich klein werden und den Gleichungen genügen: \[ \lim_{z=0}\frac{f(z)}z\text{ oder }\left[\frac d{dz}f(z)\right]_{z=0} = 1, \]
\[ f(2z)f(\frac12) = 2f(z)f(z+\frac12), \]
\[ f(-z) = -f(z). \] Mit Hülfe dieses Satzes lässt sich dann weiter zeigen, dass \[ \frac{\sin\pi z}{\pi} = z\Pi_m'\left(1 - \frac zm\right)e^{\frac zm}\qquad (m = \pm1,\pm2,\dots) \] ist, wo der Accent an \(\Pi\) daran erinnern soll, dass \(m=0\) auszuschliessen ist.

Reviewer: Haussner, Dr. (Würzburg)

MSC:

33B10

Exponential and trigonometric functions

JFM Section:

Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 2. Besondere Functionen. A. Elementare Functionen (einschliesslich der Gammafunctionen und der hypergeometrischen Reihen).

Keywords:

A characterization of the sine function