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Concerning the definition by a system of functional properties of the function \(f(z)=\frac{\sin\pi z}{\pi}\). (English) JFM 26.0470.04
Die Function \(f(z)=\frac{\sin\pi z}{\pi}\) ist die einzige Function, welche durch das folgende System von Functionaleigenschaften definirt wird: \(f(z)\) soll den Charakter einer ganzen Function der complexen Veränderlichen \(z\) besitzen, an den Stellen \(z=0\), \(\pm1\), \(\pm2\), ... von der ersten Ordnung unendlich klein werden und den Gleichungen genügen: \[ \lim_{z=0}\frac{f(z)}z\text{ oder }\left[\frac d{dz}f(z)\right]_{z=0} = 1, \] \[ f(2z)f(\frac12) = 2f(z)f(z+\frac12), \] \[ f(-z) = -f(z). \] Mit Hülfe dieses Satzes lässt sich dann weiter zeigen, dass \[ \frac{\sin\pi z}{\pi} = z\Pi_m'\left(1 - \frac zm\right)e^{\frac zm}\qquad (m = \pm1,\pm2,\dots) \] ist, wo der Accent an \(\Pi\) daran erinnern soll, dass \(m=0\) auszuschliessen ist.
MSC:
33B10 Exponential and trigonometric functions
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