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Sulle formule generali di moltiplicazione complessa delle funzioni ellittiche. (Italian) JFM 26.0499.03
Das Problem der ganzzahligen Multiplication von \(\wp u\) wird bekanntlich in eleganter Weise durch die Einführung der Function \[ \psi_n(u) = \frac{\sigma(nu)}{(\sigma u)^{n.n}} \] gelöst. Es ist nämlich \[ \wp nu - \wp u = -\frac{\psi_{n-1}\psi_{n+1}}{\psi_n^2}, \] und für die Functionen \(\psi_n\) bestehen die Recursionsformeln: \[ \begin{aligned} \psi_{2n+1} &= \psi_{n+2}\psi_n^3 - \psi_{n-1}\psi_{n+1}^3,\\ \wp'u.\psi_{2n} &= \psi_n(\psi_{n-2}\psi_{n+1}^2 - \psi_{n+2}\psi_{n-1}^2),\end{aligned} \] aus denen sich, wenn \(\psi_1\), \(\psi_2\), \(\psi_3\), \(\psi_4\) bekannt sind, \(\psi_5\), \(\psi_6\), ... ergeben. Die \(\psi_n\) werden ganze rationale Functionen von \(\wp u\) und \(\wp'u\) deren Coefficienten dem Rationalitätsbereiche \((g_2,g_3)\) angehören (vergl. die Dissertationen der Herren Max Simon und Felix Müller, Berlin 1867).
Der Verfasser zeigt, dass auch die complexe Multiplication von \(\wp u\) in ganz entsprechender Weise behandelt werden kann. Gestattet die Function \(\wp u\) complexe Multiplication mit \(\varepsilon\), ist also \[ \begin{aligned} \varepsilon\omega &= a\omega + b\omega',\\ \varepsilon\omega' &= c\omega + d\omega',\end{aligned} \] wo \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) ganze Zahlen bedeuten, so setze man \[ \Theta_\varepsilon(u) = e^{-\mathfrak G\varepsilon u^2}\frac{\sigma(\varepsilon u)}{(\sigma u)^{\operatorname{Re}(\varepsilon)}}; \] hierin ist \(\mathfrak G\) eine Constante, die rational von \(g_2\), \(g_3\) und \[ \sqrt{(a-d)^2 + 4bc} \] abhängt, und \(\operatorname{Re}(\varepsilon)\) bedeutet die Norm von \(\varepsilon\). Alsdann wird \[ \wp\varepsilon u - \wp u = -\frac{\Theta_{\varepsilon-1}\Theta_{\varepsilon+1}}{\Theta_\varepsilon^2}. \] Zähler und Nenner des Bruches auf der rechten Seite sind ganze rationale Functionen von \(\wp(u)\), deren Coefficienten rational sind \(g_2\), \(g_3\) und \[ \sqrt{(a-d)^2 + 4bc}. \] Endlich bestehen auch zwischen den verschiedenen Functionen \(\Theta_\varepsilon\) Recursionsformeln. Um diese Formeln in einfacher Weise zu erhalten, hat man den Begriff des elementaren Multiplicators einzuführen. Es ist das ein Multiplicator \(E\) von der Beschaffenheit, dass alle complexen Multiplicatoren \(\varepsilon\) in der Form \[ m + nE \] dargestellt werden können, wo \(m\) und \(n\) ganze Zahlen bedeuten. Setzt man dann \[ \Theta_\varepsilon = \Theta_{m,n}, \] so ergeben sich Recursionsformeln zwischen den Functionen \(\Theta_{m,n}\), und es zeigt sich, dass alle diese Functionen sich berechnen lassen, sobald man die vier \[ \Theta_{0,1},\; \Theta_{1,2},\; \Theta_{-1,1},\; \Theta_{2,1} \] kennt; diese Functionen erhält man aber ohne Schwierigkeit durch die Methode der Reihenentwickelung. Zum Schlusse giebt der Verfasser die ausgerechneten Werte der ersten \(\Theta_{m,n}\).

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Full Text: Numdam EuDML