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Remarques diverses sur les fonctions abéliennes. (French) JFM 26.0510.01
Die vorliegende grosse Abhandlung, von welcher der Verfasser in den Comptes Rendus einen kurzen Auszug giebt (siehe JFM 26.0509.02), ist vornehmlich dem Studium der Nullstellen der \(\Theta\)-Functionen von \(p\) Variabeln \(u_1\),\(u_2\), ..., \(u_p\) gewidmet. Der Verfasser knüpft zunächst an einen früher von ihm bewiesenen Satz an (vgl. F. d. M. XV. 1883. 430, JFM 15.0430.02). Betrachtet man \(p\) \(\Theta\)-Functionen von den Ordnungen \(n_1\), \(n_2\), ..., \(n_p\) respective und mit den nämlichen \(2p\) Perioden, so ist die Anzahl ihrer incongruenten gemeinsamen Nullstellen \(p!n_1 n_2\dots n_p\). Dieser Satz wird hier für den Fall \[ n_1 = n_2 =\cdots= n_p = n \] auf neuem Wege bewiesen und folgendermassen gedeutet: Man setze \(n^p\) linear unabhängige \(\Theta\)-Functionen eines Büschels proportional den homogenen Coordinaten eines Raumes von \(n^p-1\) Dimensionen. Hierdurch wird in diesem Raume eine algebraische Mannigfaltigkeit \(V\) von \(p\) Dimensionen definirt, deren Grad \(n^p.p!\) ist. (Im Falle \(n=2\) tritt jedoch eine Reduction des Grades ein.) Für die \(\Theta\)-Functionen erster Ordnung, die zu einem algebraischen Gebilde vom Geschlechte \(p\) gehören, hat Riemann eine Reihe von Sätzen bewiesen, von welchen wir die beiden folgenden in Erinnerung bringen müssen: 1) Bezeichnen \(v_1(x)\), \(v_2(x)\), ..., \(v_p(x)\) die Werte der in geeigneter Weise fixirten, überall endlichen Integrale an der Stelle \(x\) des algebraischen Gebildes, ferner \(e_1\), \(e_2\), ..., \(e_p\) irgend welche Constanten, so verschwindet \(\Theta(v_i(x)-e_i)\) für \(p\) Lagen der Stelle \(x\); es sei denn, dass diese Function identisch, d. h. für jede Lage von \(x\) verschwindet. Letzteres findet nur für besondere Wertsysteme \(e_1\), \(e_2\), ..., \(e_p\) statt. 2) Die Gleichung \(\Theta(u_i)=0\) ist stets und nur dann befriedigt, wenn \[ u_i = v_i(x_1) + v_i(x_2) +\cdots+ v_i(x_{p-1})\qquad(i=1,2,\dots,p) \] ist, wo \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_{p-1}\) Stellen des algebraischen Gebildes bezeichnen. Deutet man \(u_1\), \(u_2\), ..., \(u_p\) als rechtwinklige Coordinaten in einem Raume von \(p\) Dimensionen, so kann man diesen Satz auch dahin aussprechen, dass die Gleichung \(\Theta(u_i)=0\) eine “Translationsfläche” darstellt. Den Satz 1) verallgemeinert Herr Poincaré nach zwei Richtungen. Einerseits betrachtet er statt einer \(\Theta\)-Function erster Ordnung eine solche von der \(n^{\text{ten}}\) Ordnung. Die Methoden Riemann’s ergeben dann unmittelbar, dass \(\Theta(v_i(x)-e_i)\) für \(np\) Lagen der Stelle \(x\) verschwindet. Auf der oben erwähnten Mannigfaltigkeit \(V\) ist also durch die Gleichungen \(u_i=u_i(x)-e_i\) eine Curve von der Ordnung \(np\) bestimmt. Diese Curve liegt überdies in einem linearen Raum von \((n-1)p\) Dimensionen. Eine andere Verallgemeinerung des Satzes 1) ist die folgende. Man betrachte die \(q\) Gleichungen \[ \Theta(v_i(x_1) + v_i(x_2) +\cdots+ v_i(x_q) - e_{ik}) = 0\qquad(k=1,2,\dots, q), \] in welchen \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_q\) Stellen des algebraischen Gebildes und die \(e_{ik}\) constante Grössen bezeichnen. Die Anzahl der Systeme von je \(q\) Stellen, welche diese Gleichungen befriedigen, betragt dann \(\frac{p!}{(p-q)!}\). Der Riemann’sche Satz 1) entspricht der Annahme \(q=1\). — Was nun den Satz 2) von Riemann angeht, so zeigt der Verfasser, dass dieser Satz für \(p>3\) eine specielle Eigentümlichkeit der Riemann’schen \(\Theta\)-Functionen ausdrückt, dass also für eine allgemeine \(\Theta\)-Function die Gleichung \(\Theta(u_1,\dots,u_p)=0\) keine Translationsfläche darstellt. Der Beweis hierfür stützt sich auf die Betrachtung derjenigen \(\Theta\), für welche die Perioden \(a_{ik}\) \((i\gtrless k)\) unendlich klein sind. Diesen besonderen Fall bezeichnet der Verfasser als dem “elliptischen Falle benachbart”, weil für \(a_{ik}\) \((i\gtrless k)\) die \(\Theta\)-Function in ein Product elliptischer \(\Theta\)-Functionen zerfällt. In diesem Falle nun ergiebt sich aus der Entwickelung der \(\Theta\)-Function nach Potenzen der \(a_{ik}\) \((i\gtrless k)\), dass der translative Charakter der Gleichung \(\Theta=0\) für \(p=4\) nur eintritt, wenn zwischen den unendlich kleinen Grössen \(a_{ik}\) die Gleichung \[ \sqrt{a_{12}a_{13}a_{34}a_{24}} + \sqrt{a_{13}a_{14}a_{23}a_{24}} = \sqrt{a_{12}a_{14}a_{23}a_{34}} \] besteht. Für einen beliebigen Wert von \(p\) ergiebt sich, dass die Anzahl der Bedingungsgleichungen zwischen den unendlich kleinen Grössen \(a_{ik}\), die den translativen Charakter der Gleichung \(\Theta=0\) ausdrücken, genau so gross ist, wie die Anzahl der Bedingungen dafür, dass die \(\Theta\)-Function eine Riemann’sche \(\Theta\)-Function ist. Wir bemerken noch, dass die Bedingung, welche ausdrückt, dass eine \(\Theta\)-Function von vier Variabeln zu einem algebraischen Gebilde vom Geschlecht \(p=4\) gehört, explicite von Hrn. Schottky aufgestellt worden ist (vgl. F. d. M. XX. 1888. 488, JFM 20.0488.02). Dem Verfasser scheint dies nicht bekannt zu sein; wenigstens nimmt er auf dieses Resultat von Schottky nicht Bezug. Wir haben im Vorstehenden die hauptsächlichsten Ergebnisse der vorliegenden Arbeit wiedergegeben. Dieselbe enthält jedoch überdies noch eine grosse Zahl von interessanten Einzeluntersuchungen, auf welche wir indessen hier nur hinweisen können.

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Full Text: EuDML