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Die quadratische Transformation der Thetafunctionen. (German) JFM 26.0516.01

In der vorliegenden Abhandlung wird die Formel für die allgemeinste quadratische Transformation der Thetafunctionen beliebig vieler Variabeln aufgestellt; dabei ist das Verfahren, dessen sich der Verf. zur Herstellung dieser Formel bedient, das folgende. Zuerst wird auf jede der beiden Functionen \(\vartheta{g\atopwithdelims[]h}((u))_\alpha\) und \(\vartheta{g'\atopwithdelims[]h'}((0))_\alpha\) jene lineare Transformation angewandt, die aus der vorgelegten quadratischen durch Halbirung der \(2p^2\) Transformationszahlen \(\alpha_{\mu\nu}\), \(\beta_{\mu\nu}\) \((\mu,\,\nu=1,2,\dots,p)\) entsteht; hierauf werden diese beiden Formeln mit einander multiplicirt und sodann die rechts auftretenden Producte \(\vartheta{k\atopwithdelims[]l}((2v))_{2b}\vartheta{k'\atopwithdelims[]l'}((0))_{2b}\) mittels bekannter Formel in Producte \(\vartheta{p\atopwithdelims[]q}((v))_{b}\vartheta{p'\atopwithdelims[]q'}((v))_{b}\) übergeführt. Um die Brauchbarkeit der gewonnenen allgemeinen Formel darzuthun, wird dieselbe im weiteren Verlaufe der Abhandlung für den speciellen Fall \(p=1\) aufgestellt, und es werden aus ihr die Formeln für jene drei einfachsten quadratischen Transformationen abgeleitet, welche als Repräsentanten der nicht äquivalenten Klassen quadratischer Transformationen zu dienen pflegen.
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References:

[1] Im Nachstehenden wird diese Abhandlung kurz mit N. G. citirt.
[2] N. G. pag. 128.
[3] N. G. pag. 118.
[4] N. G. pag. 31.
[5] Vergl. Königsberger, Die Transformation, die Multiplication und die Modulargleichungen der elliptischen Functionen. (Leipzig 1868, Teubner) p. 59 u. f.
[6] N. G. pag. 118. Es muss zu dieser Formel berichtigend bemerkt werden, dass das auf der rechten Seite unter dem Wurzelzeichen stehende +, das verlangt, die Wurzel möge so ausgezogen werden, dass ihr reeller Theil positiv wird, fortzulassen ist. Das auf Seite 85 der N. G. stehende Product vonp Wurzeln kann nämlich, wie ich nachträglich bemerkt habe, nicht zu einer einzigen Wurzel vereinigt werden, und es bleibt daher bezüglich des Vorzeichens der in der Transformationsformel auftretenden Wurzel die von Herrn Weber auf Seite 68 seiner Abhandlung: ?Ueber die unendlich vielen Formen der ?-Function? (Journal für die r. u. a. Mathematik, Bd. 74, pag. 57) gemachte Bemerkung in Kraft. Da im Folgenden das Vorzeichen der Wurzel keine Rolle spielt, mag hier nicht näher darauf eingegangen werden.
[7] N. G. pag. 31.
[8] Zu der hier angewandten Symbolik vergl. N. G. pag. 6.
[9] N. G. pag. 7.
[10] Vergl. die Transformation der Thetafunctionen einer Veränderlichen. Zweite Abhandlung. (Mathem. Annalen, Bd. 43, pag. 477.)
[11] a. a. O. Vergl. die Transformation der Thetafunctionen einer Veränderlichen. Zweite Abhandlung. (Mathem. Annalen, Bd. 43, pag. 466.)
[12] Vergl. Weber, Elliptische Functionen und algebraische Zahlen (Braunschweig 1891, Vieweg), pag. 79 u. f.
[13] Vergl. Weber, a. a. O.
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