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Ueber die Erweiterung eines Grundbegriffs der Geometrie der Lage. (German) JFM 26.0603.02
Bei einer collinearen Ebenentransformation sind die Punktwürfe aus je zwei entsprechenden Gruppen \(ABCDE\) und \(A'B'C'D'E'\), wie der Verfasser sich ausdrückt, einander gleich: d. h. es besteht unter irgend zwei entsprechenden Quadrupeln Gleichheit der Doppelverhältnisse, wofern man die beiden Kegelschnitte \(ABCDE\) und \(A'B'C'D'E'\) als Träger wählt. Wenn \(DE\) die Geraden \(BC\), \(CA\), \(AB\) in \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) trifft, so sind die beiden Punktwürfe \(ABCDE\) und \(A_1B_1C_1DE\) einander gleich. Bei einer collinearen Transformation der Ebene in sich ist der Punktwurf aus den drei Doppelpunkten und je zwei entsprechenden Elementen unveränderlich.
Die Lage eines Punktes \(F\) im Raume gegen fünf gegebene \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) kann unzweideutig durch den Punktwurf \(ABCDEF\) gegeben werden, d. h. durch die Forderung, dass auf der Raumcurve \(ABCDEF\) die sechs Punkte auf sechs gegebene Punkte einer Geraden projectivisch bezogen sind. Dieser Punktwurf ist gegenüber collinearen Transformationen invariant. Schneidet \(E\)F die Ebenen \(BCD\), \(CAD\), \(ABD\), \(ABC\) in \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\), \(D_1\) und treffen \(BC\), \(CA\), \(AB\) und \(EF\), \(FD\), \(DE\) die Schnittlinie von \(ABC\) und \(DEF\) in \(A_2\), \(B_2\), \(C_2\) und \(D_2\), \(E_2\), \(F_2\), so sind die beiden Punktwürfe \((A_1B_1C_1D_1EF)\) und \((A_2B_2C_2D_2E_2F_2)\) dem Punktwurf \(ABCDEF\) gleich. Diese Betrachtungen lassen sich mit Hülfe der Normalcurven \(n^{\text{ter}}\) Ordnung auf den Raum \(n^{\text{ter}}\) Dimension ausdehnen. In ihm ergeben sich z. B. Verallgemeinerungen zweier sehr bekannter Staudt’schen Sätze. Nach dem einen ist bei einem Tetraeder mit den Ecken \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) und den Flächen \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), \(\delta\) für jede Gerade \[ e(A, B, C, D) \barwedge e(\alpha, \beta, \gamma, \delta). \] Nach dem anderen ist, wenn \(D\) der Geraden \(d\) angehört, und wenn \(A\), \(B\), \(C\) die Schnittpunkte von \(d\) mit den Seiten eines Dreiecks, \(a\), \(b\), \(c\) die Verbindungslinien von \(D\) mit den gegenüberliegenden Ecken sind: \[ ABCD \barwedge abcd. \]

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References:
[1] Dasselbe Attribut ertheilt Standt Würfen von vier durchaus verschiedenen Elementen eines einförmigen Trägers (Beitr. z. Geom. d. Lage, Art. 256).
[2] Siehe z. B. Reye, Geom. d. Lage, II. Bd., p. 10/11 der 3. Aufl.
[3] Siehe: Staudt, Geom. d. Lage, Art. 238; Reye, Geom. d. Lage, 3. Aufl. II, S. 125.
[4] Werke, Staudt, Geom. d. Lage, Art. 238, p. 462.
[5] Dass die PunkteABCPP 1 collinear verwandt sind den PunktenABCP? P 1 ? hat schon Staudt bewiesen (Beitr. z. Geom. d. Lage, Art. 515).
[6] S. a. a. (Beitr. z. Geom. d. Lage, Art. 515). O. Seite 356, wo die Form mit ?(l) bezeichnet ist.
[7] Behandlung der projectivischen Verhältnisse der Räume von verschiedenen Dimensionen durch das Princip des Projicirens und Schneidens. Math. Ann. Bd. XIX, Art. 18.
[8] Beiträge z. Geom. d. Lage, Art. 34.
[9] Liniengeometrie, II.
[10] Ueber besondere Lagen zweier Tetraeder, Math. Ann. Bd. 19.
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