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Ueber die focalen Eigenschaften collinearer Gebilde. (German) JFM 26.0606.02

Herr Henry Smith hatte 1869 in den Proceedings of the London Math. Soc. p. 196-248 (cf. auch Gesamm. Werke) über die focalen Eigenschaften homographischer Figuren geschrieben. Von den Mittelpunkten zweier gleichen homologen Strahlenbüschel in zwei collinearen Feldern wird dort nachgewiesen, dass sie die Brennpunkte von zwei Scharen homologer Kegelschnitte sind und zugleich die Punktkreise von zwei Büscheln homologer Kreise der Felder. Ferner stellte Henry Smith die kanonischen und die elliptischen Gleichungen der ebenen Collineation auf und entdeckte wichtige metrische Beziehungen collinearer Felder, besonders hinsichtlich der Krümmung ihrer homologen Curven. Analoges fand er dann für collineare Bündel und collineare Räume; namentlich ergab sich, dass die Axen gleicher homologer Ebenenbüschel zweier collinearen Räume die Geraden von zwei homologen Scharen confocaler Flächen zweiten Grades sind. Während Smith nun seine Untersuchungen synthetisch mit Hülfe der unendlich fernen Kreispunkte und des unendlich fernen Kugelkreises aufstellt und dabei die Beweise entweder nur andeutet oder dem Leser überlässt, begründet Herr Reye hier diese Resultate genauer und vollständiger und ergänzt sie auch in mancherlei Richtungen. Namentlich spielen dabei die schon 1868 vom Verf. untersuchten quadratischen Axencomplexe eine bedeutende Rolle.
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References:

[1] In den Proceedings of the London Mathem. Society, vol. II (1869) (p. 196?248; abgedruckt in seinen Collected Math. Papers, vol. I. p. 545?602 Oxford 1894, 2 vls.).
[2] Vgl. Reye, Geometrie der Lage I, S. 156 (3. Aufl.).
[3] Erste Auflage (1868) Thl. II, S. 41 und 229?232; dritte Aufl. (1892) Thl. I, S. 179?190, Thl. II, S. 51 und 271.
[4] Vgl. Reye, Geometrie der Lage, 3. Aufl., I, S. 179?190.
[5] Vgl. Reye, Geom. d. Lage, I, S. 183.
[6] Kilbinger, Problem der homologen Kreise in collinearen Räumen (Strassb. Inaug. Diss.), Bonn 1880. · JFM 12.0492.01
[7] Vgl. Reye, Geom. d. Lage, 3. A., II, S. 150.
[8] Vgl. Reye, G. d. L. Geom. d. Lage, 3. A., II, S. 138.
[9] Vgl. ebenda Reye, G. d. L. Geom. d. Lage, 3. A., II, S. 154.
[10] Sturm, Math. Annalen Bd. 28, S. 264.
[11] Diese Bemerkung ist Herrn Kilbinger, a. a. O. entgangen. Problem der homologen Kreise in collinearen Räumen (Strassb. Inaug. Diss.), Bonn 1880. · JFM 12.0492.01
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