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Sulla teoria intrinseca delle superficie ed in ispecie di quelle di \(2^\circ\) grado. (Italian) JFM 26.0691.02

Ven. Ist. Atti (7) VI. 445-488 (1895).
Unzweifelhaft kennt der Leser die mehrjährigen Arbeiten des Verf. über die allgemeine Theorie der quadratischen Differentialausdrücke, über welche er selbst 1892 eine Uebersicht in Darboux Bull. veröffentlicht hat (vergl. F. d. M. XXIV. 1892. 371, JFM 24.0371.02). Gewiss sind auch die mannigfachen Anwendungen nicht unbekannt geblieben, welche er von seinen Resultaten auf die allgemeine Theorie der Flächen gemacht hat; unter ihnen wollen wir diejenigen hervorheben, welche man in der Abhandlung “Di alcune applicazioni del calcolo differenziale assoluto” (F. d. M. XXV. 1893/94. 1174, JFM 25.1174.03) findet. Als eine Fortsetzung dieser Arbeit kann diejenige angesehen werden, über welche jetzt zu berichten ist, und welche als Grundlage für die Differentialgeometrie der Flächen gelten kann. Dieselbe besteht aus drei Capiteln.
Das erste (“Allgemeine Theorie der Flächen”) fängt mit einer neuen Aufstellung der Grundbeziehungen an, die zwischen den Coefficienten der beiden quadratischen Differentialausdrücke bestehen, durch welche man, wie bekannt, jede Fläche darstellen kann. Nach einigen Entwickelungen, bei denen wir nicht verweilen können, behandelt der Verf. die Biegung der Linien einer so dargestellten Fläche und beweist einige wichtige Ausdrücke für die Richtungscosinus der Haupt- und Binormale einer beliebigen Curve derselben. Aehnlich erlangt Herr Ricci die Gleichungen der Krümmungscurven, der asymptotischen Linien u. s. w. unter einer neuen Form, ferner als besondere Fälle anderer die berühmten Formeln von Gauss und (Mainardi-)Codazzi, sowie auch einige Gleichungen von Raffy (vergl. F. d. M. XXIV. 1892. 742, JFM 24.0742.01; JFM 24.0742.02) und den allgemein bekannten Enneper’schen Satz.
Im zweiten Capitel werden die beiden folgenden Aufgaben behandelt: “Ist ein binärer quadratischer Differentialausdruck \(\varphi\) gegeben, so soll man erkennen, ob es Flächen giebt, welche \(\sqrt{\varphi}\) als Lnienelement haben, und welche ferner entweder ihre mittlere Krümmung gleich einer gegebenen Constante \(c\) haben, oder geradlinig sind; im bejahenden Falle muss man den zweiten Differentialausdruck finden, durch den die gesuchte Fläche dargestellt wird”. Nach Herrn Ricci kann die erste Aufgabe durch blosse Quadraturen gelöst werden. In Betreff der zweiten beweist er zuerst, dass es keine geradlinige Fläche von constanter Krümmung giebt; dann stellt er die Lösbarkeitsbedingungen derselben auf; endlich legt er klar, wie sie aufgelöst werden kann, wenn diese Bedingungen befriedigt sind.
Im dritten Capitel setzt der Verf. einige allgemeine Betrachtungen über die folgende allgemeine Aufgabe auseinander: “Es sei ein binärer quadratischer Differentialausdruck \(\varphi\) gegeben; man soll entscheiden, ob es unter den Flächen, deren Linienelement durch \(\sqrt{\varphi}\) ausgedrückt wird, eine giebt, welche gegeben ist oder einer gegebenen Flächenklasse angehört”. Solche allgemeine Ueberlegungen werden auf den Fall angewandt, bei welchem diese gegebene Klasse aus Flächen zweiter Ordnung besteht. Dadurch gelangt der Verf. zu dem Satze, dass es ausser der Kugel keine Quadrifläche giebt, welche ein constantes, nicht verschwindendes Krümmungsmass besitzt, und dann schreitet er zur Bestimmung aller Flächen zweiter Ordnung, deren Linienelement ein gegebenes ist. Andere nicht unwichtige, von Herrn Ricci bewiesene Sätze müssen hier der Kürze wegen unterdrückt werden; aber das Gesagte genügt, um die besprochene Abhandlung denjenigen zu empfehlen, welche sich mit Differentialgeometrie beschäftigen.