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Mémoire sur la déformation des surfaces. (French) JFM 26.0716.01
Es seien \((x, y, z)\) und \((x_1, y_1, z_1)\) die Coordinaten zweier entsprechenden Punkte \(\sigma\) und \(\sigma_1\) isometrischer Flächen, \((X, Y, Z)\) die des Halbirungspunktes \(\Sigma\) der Verbindungslinie, \((X_1, Y_1, Z_1)\) die Axenprojectionen der Hälfte der Strecke \(\sigma\sigma_1\), \(\Sigma_1\) ein Punkt mit den Coordinaten \((X_1, Y_1, Z_1)\). Dann ist \[ x = X + X_1,\quad x_1 = X - X_1\text{ u. s. w.}, \] und es ist leicht, wenn \((\Sigma)\) und \((\Sigma_1)\) gegeben sind, \((\sigma)\) und \((\sigma_1)\) zu construiren. Nun lässt sich aber die Differentialgleichung für \((\Sigma_1)\) bei gegebener \((\Sigma)\) leicht aufstellen, wenn man \(X\) und \(Y\) als Parameter wählt. Wegen der Isometrie von \(\sigma\) und \(\sigma_1\) ist nämlich \[ \frac{\partial X_1}{\partial X} + \frac{\partial Z}{\partial X}\cdot \frac{\partial Z_1}{\partial X} = 0,\quad \frac{\partial Y_1}{\partial Y} + \frac{\partial Z}{\partial Y}\cdot \frac{\partial Z_1}{\partial Y} = 0, \] \[ \frac{\partial X_1}{\partial Y} + \frac{\partial Y_1}{\partial X} + \frac{\partial Z}{\partial X}\cdot \frac{\partial Z_1}{\partial Y} + \frac{\partial Z}{\partial Y}\cdot \frac{\partial Z_1}{\partial X} = 0. \] Durch Elimination von \(X_1\) und \(Y_1\) ergiebt sich nach bekannten Methoden: \[ \frac{\partial^2Z}{\partial X^2} \frac{\partial^2Z_1}{\partial Y^2} - 2\frac{\partial^2Z}{\partial X}{\partial Y}\cdot \frac{\partial^2Z_1}{\partial X}{\partial Y} + \frac{\partial^2Z}{\partial Y^2}\cdot \frac{\partial^2Z_1}{\partial X^2} = 0. \] Dies ist die gesuchte Differentialgleichung. Jedes Integral derselben liefert eine Fläche \((\Sigma_1)\), also auch zwei isometrische Flächen \((\sigma)\) und \((\sigma_1)\).
Der Verfasser stellt nun eine Iteration zwischen den Hauptkrümmungsradien der Flächen \((\Sigma)\) und \((\Sigma_1)\) auf, welche das Analogon zu dem Gauss’schen Satze von der Gleichheit des Krümmungsmasses bei \((\sigma)\) und \((\sigma_1)\) ist. Unter Benutzung allgemein üblicher Bezeichnungen ergiebt sich: \[ (1 + PP_1 + QQ_1)\left(P_1\frac{\partial Z_1}{\partial X} + Q_1\frac{\partial Z_1}{\partial Y}\right) = 0. \] Das Verschwinden des ersten Factors giebt einen ganz singulären Fall. Die entsprechenden Normalen der Flächen \((\Sigma)\) und \((\Sigma_1)\) sind dann auf einander rechtwinklig; \((\sigma)\) und \((\sigma_1)\) sind ferner zwei parallele Cylinder, deren Erzeugende sich isometrisch entsprechen; \((\Sigma)\) und \((\Sigma_1)\) sind ebenfalls dazu parallele Cylinder. Im allgemeinen aber muss der zweite Factor verschwinden. Diese Bedingung wird durch eine längere Entwickelung auf folgende Form gebracht. Es seien \(MX\), \(MY\) die Hauptkrümmungsrichtungen auf \((\Sigma)\), \(M_1X_1\), \(M_2X_2\) die auf \((\Sigma_1)\), \(M_1A_1\) und \(M_1A_1'\) die Haupttangentenrichtungen auf \((\Sigma_1)\) endlich \(\varrho\) und \(\varrho'\) die Hauptkrümmungsradien auf \((\Sigma)\), \(\varrho_1\) und \(\varrho_1'\) auf \((\Sigma_1)\), und die Buchstaben \(\alpha\), \(\beta\) etc. bezeichnen die durch folgendes Schema bestimmten Richtungscosinus: \[ \begin{matrix}&\quad&\quad&\quad&\quad\\ &M_1X_1&M_1Y_1&M_1A_1&M_1A_1'\\ MX&\alpha&\alpha'&\alpha_1&\alpha_1'\\ MY&\beta&\beta'&\beta_1&\beta_1'.\end{matrix} \] Dann ergiebt sich die gesuchte Relation zwischen den Krümmungsradien: \[ \alpha^2\varrho\varrho_1 + \alpha'^2\varrho\varrho_1' + \beta^2\varrho'\varrho_1 + \beta'^2\varrho'\varrho_1' = 0. \] Dieselbe zeigt, dass \(\varrho:\varrho'\) und \(\varrho_1:\varrho_1'\) nicht gleichzeitig positiv sein können, das heisst, die Flächen \((\Sigma)\) und \((\Sigma_1)\) können nicht gleich zeitig positiv gekrümmt sein.
Hieraus ergiebt sich noch ein specieller Satz für den Fall, wo die Distanz \(\Sigma\Sigma_1\) constant ist.
Der Verfasser betrachtet dann näher den Fall, wo \((\Sigma)\) ein Cylinder ist. \((\sigma)\) und \((\sigma_1')\) sind, alsdann Regelflächen, deren eine \((\sigma)\) beliebig ist, während \((\sigma_1)\) dazu symmetrisch ist in Bezug auf eine beliebige Erzeugende derjenigen Regelfläche, die mit \((\sigma)\) isometrisch ist und deren Erzeugende den entsprechenden Erzeugenden von \(\sigma\) parallel ist.
Es werden dann einige interessante Beziehungen zwischen \((\sigma)\), \((\sigma_1)\) und \((\Sigma_1)\) untersucht.
Ferner werden alle \((\sigma)\) und \((\sigma_1)\) bestimmt, für die \((\Sigma)\) eine Fläche zweiter Ordnung ist. Hat diese keinen Mittelpunkt, so ist unter den Paaren \((\sigma)\) und \((\sigma_1)\) die Enneper’sche Minimalfläche und die ihr adjungirte enthalten. Diese beiden Flächen können stets in eine solche Lage gebracht werden, dass \((\Sigma)\) ein gleichseitiges hyperbolisches Paraboloid wird.
Ist \((\Sigma)\) eine Fläche zweiter Ordnung mit einem Mittelpunkte, so wird \((\Sigma_1)\) eine Kugel; also ist die Strecke \(\Sigma\Sigma_1\) constant. Dies ist ein Fall, der von Ribaucour untersucht ist.

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