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Sui sistemi lineari di superficie algebriche ad intersezioni variabili iperellittiche. (Italian) JFM 26.0728.02
Diese Abhandlung bietet eine Ausführung derjenigen Resultate, welche der Verfasser im December 1893, im Mai und Juni 1894 bereits mitgeteilt hat (Rom. Acc. L. Rend. (5) \(\text{II}_2\). 271-287 und \(\text{III}_1\). 481-487, 536-543; F. d. M. XXV. 1893/94. 1215-1216, JFM 25.1215.01; JFM 25.1215.02; JFM 25.1216.01).
Indem der Verfasser hier die umfassende Litteratur in diesem Gebiete zusammengestellt und namentlich die neuen Arbeiten der Herren Segre und Castelnuovo (Palermo Rend. I und IV und Rom. Acc. L. Rend. (5) \(\text{II}_1\), \(\text{III}_1\); F. d. M. XIX. 1887. 840, JFM 19.0840.01, XXII. 1890. 788, JFM 22.0788.01, XXV. 1893/94. 1215, JFM 25.1215.01; JFM 25.1215.02, 1229, JFM 25.1229.01; JFM 25.1229.02) benutzt, behandelt er das ganze Problem in vier Abschnitten mit folgendem Inhalt: 1) Die Flächen mit hyperelliptischen Schnitten, 2) die linearen Flächensysteme mit veränderlichen rationalen Durchschnitten, 3) dieselben mit elliptischen Durchschnitten, 4) die linearen Flächensysteme mit hyperelliptischen Durchschnitten. Bezüglich der interessanten Resultate verweisen wir auf die früher besprochenen Abhandlungen.

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References:
[1] Noether, ?Zur Theorie der eindeutigen Ebenentransformationen? (Math. Ann. Bd. V). Bertini, ?Ricerche sulle trasformazioni univoche involutorie nel piano? (Annali di Mat. serie IIa t. 8). Guccia, ?Generalizzazione di un teorema di Noether; Sulla riduzione dei sistemi lineari di curve ellittiche? (Circolo di Palermo t. I). Jung (Istituto lombardo, Marzo 87 e Maggio 88, e Annali di Mat. serie IIa ti 15 e 16). Martinetti (Ist. lomb. Marzo 87, e Circolo di Palermo t. I).
[2] Cr. J. Bd. C. Cfr. anche Guccia (Circolo di Palermo t. I. 13 Giugno 1886).
[3] ?Sulle superficie dell’ n0 ordine immerse nello spazio din dimensioni? (Circolo di Palermo t. I).
[4] Cfr. Segre (Circolo Matematico di Palermo t. I) e Castelnuovo (Circolo Matematico di Palermo t. IV. Accad. d. Scienze di Torino, Atti, 1890): nel penultimo lavoro citato trovasi anche una nota del sigr Segre contenente più esplicitamente l’ osservazione indicata. Cfr. anche Segre ?Introduzione alla geometria sopra un ente algebrico semplicemente infinito?, (Annali di Matematica 1894). Nel cap. I §1 3, 4, 6) della citata memoria del sigr Segre si troveranno sviluppate molte considerazioni utili per l’ intelligenza di questo lavoro. In particolare mi limito a ricordare il seguente principio di frequentissima applicazione. ?Dato un sistema lineare ? n (r>2) di curve piane (ed analogamente si dica per un sistema di superficie nello spazio ecc.) esiste sempre inS n una superficie razionale semplice o multipla che può ritenersirappresentata sul piano dal detto sistema (essendo le curve del sistema immagini delle sezioni iperplanari della superficie): la detta superficie è semplice se il passaggio per un punto delle curve del sistema non trae il loro passaggio per altri punti variabili con esso; inoltre essa ènormale (cioè non proiezione di un altra dello stesso ordine appartenente ad uno spazio più elevato) se il sistema di curve piane è determinato completamente dai punti base (e viceversa). Una superficie proiezione in uno spazio inferiore di una data superficie normale, viene rappresentata sul piano da un sistema lineare di curve contenuto in quello rappresentativo della superficie normale ecc.?
[5] Cfr. Segre, ?Sulla varietà cubica dello spazio a 4 dimensioni ecc.? (Accademia di Torino. Memorie 1888).
[6] La dimostrazione che il Kronecker diede di questo teorema non fu pubblicata; l’illustre geometra si riserbava di ritoccarla quando la morte lo colse. Una dimostrazione del teorema fondata probabilmente su concetti diversi fu data dal sigr Castelnnovo (?Sulle superficie algebriche che ammettono un sistema doppiamente infinito di sezioni piane riduttibili? Rendic. Accad. d. Lincei Genn 1894). Questi anzi mi prega di aggiungere alle notizie che egli diede sul teorema di Kronecker quella qui contenuta che egli deve alla cortesia del prof. G. Loria.
[7] Sur les surfaces algébriques dont toutes les sections planes sont unicursales (Crelle J. Bd. C). Cfr. anche Guccia, Circolo di Palermo t. I.
[8] Il ragionamento e la conclusione di questo n0 sono tolti dalla nota del sigr Castelnuovo ?Sulle superficie algebriche le cui sezioni piane sono curve ellittiche? (Rendic. Acc. dei Lincei, Genn. 1894).
[9] I resultati di questo n0 sono dovuti al sigr Del Pezzo (?Sulle superficie dell’ n0 ordine immerse nello spazio din dimensioni,? Circolo di Palermo t. I) che li dedusse servendosi della proiezione da punti della ? sopra una superficie cubica diS 8: qui essi vengono stabiliti direttamente con metodo estendibile alle varietà (a curve sezioni ellittiche) di più dimensioni.
[10] Math. Annalen Bd. 24.
[11] Cfr. Cremona, Cr. J. Bd. 68.
[12] Castelnuovo, Accad. dei Lincei, Gennaio 1894.
[13] Del Pezzo, Circolo di Palermo t. I.
[14] Cfr. la mia Nota ?Sui sistemi lineari di superficie algebriche le cui intersezioni variabili sono curve iperellittiche? (Accad. dei Lincei, Dec. 1893), n02.
[15] Cfr. Castelnuovo, Circolo Matematico di Palermo 1890.
[16] Castelnuovo ?Sulla razionalità delle involuzioni piane? (Math. Ann. Bd. 44, 1893). · JFM 25.0970.02
[17] ?Ueber Flächen, welche Schaaren rationaler Curven besitzen? (Math. Ann. Bd. III). · JFM 02.0616.02
[18] La razionalità delle involuzioni sopra un sostegno razionale ?1 è stata stabilita dal sigr Lüroth (Math. Ann. Bd. 9). Secondo un teorema più generale di Castelnuovo sono anche razionali le involuzioni più volte infinite, non composte, sopra una curva di genere qualunque (Atti dell’ Accad. di Torino, Giugno 1893). Sigr Humbert (Journ. da Math. 1893) e giunto contemporaneamente allo stesso resultato.
[19] ?Sulle superficie algebriche che contengono una rete di curve iperellittiche?. (Rend. Accad. dei Lincei, maggio 1894).
[20] Serie caratteristica della rete (sistema lineare ?2) è quella serie segata dalle curve del sistema sopra una curva generica di esso: la denominazione dinon speciale và intesa nel senso dei sigi Brill-Noether (Math. Ann. Bd. 7), (serie non contenuta nellag 2p?2 p?1 appartenente alla curva di generep).
[21] Noether, Math. Ann. Bd. III.
[22] Cfr. Castelnuovo l. c. ?Sulla razionalità delle involuzioni piane? (Math. Ann. Bd. 44, 1893).
[23] Clebsch, ?Ueber den Zusammenhang...? Math. Ann. Bd. III. Noether, ?Ueber die ein-zweideutigen Ebenentransformationen?, Sitzungsberichte d. ph. med. Soc. zu Erlangen 1878.
[24] Dicesi di Veronese la superficie normale del 4{\(\deg\)} ordine inS 5 rappresentabile sul piano mediante il sistema lineare della coniche. Questa bella superficie (le cui proiezioni dello stesso ordine inS 3 sono superficie di Steiner) si trova già accennata dal Cayley ?On the Curves which satisfy given conditions? (Phil. Trans. 1868), ed è stata studiata diffusamente dal sigr Veronese (Accad. dei Lincei, Memorie 1883?84) e dal sigr Segre ?Considerazioni intorno alla geometria delle coniche? (Atti Accad. di Torino 1885). Cfr. anche Study ?Ueber die Geometrie der Kegelschnitte? (Math. Ann. Bd. 27).
[25] ?Sulle varietà normali a 3 dimensioni composte di una serie semplice razionale di piani? Atti (Accad. di Torino 1885).
[26] Cfr. le mie Note ?Sui sistemi lineari di superficie algebriche le cui intersezioni variabili sono curve ellittiche? (Rendic. Accad. dei Lincei, Maggio-Giugno 1894).
[27] Cfr. n0 6.
[28] La varietàV del 4{\(\deg\)} ordine diS 5 può considerarsi come un complesso quadratico di rette (chiamando punti [di una quadrica] le rette diS 3). La data rappresentazione diV coincide con quella data dal sigr Klein in un’ aggiunta alla nota del sigr Noether, ?Zur Theorie der algebraischen Functionen mehrerer complexer Variabeln? Göttinger Nachrichten 1869). Cfr. anche Caporali, ?Sui complessi e sulle congruenze di 2{\(\deg\)} grado? (Memorie dell’ Acad. dei Lincei. 1877?78).
[29] Cfr. la mia Nota ?Sui sistemi lineari di superficie algebriche le cui intersezîoni variabili sono curve iperellittiche? (Rendic. Accad. d. Lincei, Decembre 1894).
[30] Cfr. la nota a pag. 72 della citata memoria del sigr Segre (Annali di Matematica 1894).
[31] Noether, Math. Ann. Bd. III.
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