Sur les tétraèdres conjugués par rapport à une quadrique, et dont les arêtes sont tangentes à une autre quadrique. (French) JFM 26.0730.01

Vogt, H.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) XII, 363-389 (1895).

Die Gleichungen zweier auf ihr gemeinsames conjugirtes Tetraeder bezogenen Flächen zweiten Grades seien \(\Sigma=0\), \(S=0\), wo: \[ \begin{aligned} \Sigma &= x^2 + y^2 + z^2 + t^2,\\ S &= ax^2 + by^2 + cz^2 + dt^2;\end{aligned} \] dann lautet die notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz eines solchen Tetraeders: \[ \begin{aligned} \Phi &= 0,\\ \text{wo} \Phi &= ab + ac + ad + bc + cd + bd.\end{aligned} \] Der Verfasser giebt einen neuen einfachen Beweis für dieses Theorem. Hierbei findet er, dass diese Tetraeder eine einfach unendliche Mannigfaltigkeit bilden, dass die Ecken derselben auf einer Raumcurve achter Ordnung liegen, die sich als Durchschnitt der beiden Flächen \[ T' = 0,\quad W = \Sigma^2 - 4SS' = 0 \] darstellt, wo \[ \begin{split} T' = a(bc+cd+bd)x^2 + b(ac+ad+cd)y^2\\ + c(ab+ad+bd)z^2 + d(ab+ac+bc)t^2,\end{split} \]
\[ S' = \frac{x^2}a + \frac{y^2}b + \frac{z^2}c + \frac{t^2}d. \] Jeder Punkt dieser Curve bildet die Ecke eines und nur eines Tetraeders der verlangten Eigenschaft. Hiernach werden die Coordinaten der Punkte dieser Curve, ebenso wie die Elemente der Tetraeder als Functionen eines Parameters \(\varrho\) ausgedrückt. Nennt man die den vier Ecken eines Tetraeders entsprechenden Werte des Parameters \(\varrho_1\), \(\varrho_2\), \(\varrho_3\), \(\varrho_4\), besteht, wie der Verfasser findet, zwischen zweien die bemerkenswerte Relation: \[ \varDelta\varrho_i^2\varrho_1^2(\varrho_i+\varrho_1) + 2\theta\varrho_i^2\varrho_1^2 + 2\theta'\varrho_i\varrho_1 + \varDelta'(\varrho_i+\varrho_1) = 0, \] wo \[ \begin{aligned} \varDelta &= 1,\\ \theta &= a + b + c + d,\\ \theta' &= bcd + cda + dab + abc,\\ \varDelta' &= abcd.\end{aligned} \] Vermöge dieser Relation vom Geschlecht zwei lassen sich jene Parameter als Thetafunctionen von zwei Argumenten darstellen, wobei zwischen den Argumenten die Beziehung \[ \vartheta_0(u_1, u_2) = 0 \] angesetzt wird.
In der Einleitung giebt der Verfasser eine kurze Litteraturübersicht über die hyperelliptischen Functionen, ohne die in derselben Zeitschrift ((3) X. 253-294, F. d. M. XXV. 1893/94. 811, JFM 25.0811.02) erschienene Abhandlung des Herrn F. Caspary zu erwähnen.

Reviewer: Jahnke, Dr. (Berlin)

JFM Section:

Neunter Abschnitt. Analytische Geometrie. Capitel 3. Analytische Geometrie des Raumes. C. Raumgebilde ersten, zweiten, dritten Grades.

Citations:

JFM 25.0811.02