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Alcune proprietà metriche dei complessi di rette ed in particolare di quelli simmetrici rispetto ad assi. (Italian) JFM 26.0764.01
Das erste Capitel dieser Arbeit behandelt die Congruenz der Polargeraden der Geraden einer Ebene \(\alpha\) bezüglich eines Complexes \(C\) \(p^{\text{ten}}\) Grades. Sie ist von der Ordnung \(p(p-1)+1\) und der Klasse \(p(p-1)\). Ihre Brennfläche ist von der Ordnung \(2p(p-3)+10\) und der Klasse \(2p(p-3)+8\); für \(p=2\) werden deren Singularitäten bestimmt. Ist \(\alpha\) die unendlich ferne Ebene, so erhält man die schon von Plücker aufgestellte Diametercongruenz.
Im 2. Capitel wird das System der zu \(C\) “homocyklisch-homofocalen” Complexe behandelt; ein Strahl eines dieser Complexe hat zu seiner Polare bezüglich \(C\) ein constantes statisches Moment. Die singulären Geraden dieser Complexe erfüllen den “Focalcomplex”; sie sind senkrecht auf ihren Polaren bezüglich aller Complexe des Systems.
Im 3. Capitel werden die Symmetrieaxen, die \(C\) haben kann, behandelt. Es wird eine Symmetrie erster und zweiter Art unterschieden, je nachdem die Congruenz der die Axe senkrecht schneidenden Geraden \(C\) angehört oder nicht, und erörtert; in welcher Weise diese Axen für \(C\) singulär sind.
Im 4. Capitel werden alle Fälle von Symmetrien aufgestellt, die \(C\) bezüglich einer endlichen Zahl von Axen haben kann. \(C\) kann eine Zahl \(\leqq p\) von Axen erster oder zweiter Art eines Büschels haben, oder eine gerade Anzahl \(\leqq2p\) von Axen erster und zweiter Art eines Büschels; im ersten Falle ist die im Centrum des Büschels auf dessen Ebene senkrechte Gerade Axe oder nicht, je nachdem \(p\) gerade oder ungerade; im zweiten Falle ist diese Gerade immer Axe von \(C\). Für \(p=2\) können so drei Axen erster Art auftreten; eine erster und zwei zweiter Art; drei erster und zwei zweiter Art. Der Complex zweiten Grades kann auf \(\infty^2\) Weisen in einen anderen mit drei Axen erster Art projectiv transformirt werden. Es giebt \(C\) für \(p>2\) mit den Symmetrien eines Würfels, für \(p>4\) mit denen eines Ikosaeders. Einige Eigenschaften für symmetrische Complexe niedrigerer Grade werden angegeben.
Im 5. Capitel werden alle Fälle von \(C\) mit unendlich vielen Axen aufgestellt.
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Full Text: Numdam EuDML