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Exposé d’une théorie nouvelle de substitutions linéaires. (French) JFM 27.0095.01
Nouv. Ann. (3) 15, 345-365 (1896).
Wenn der Verf. seine Darstellung der Lehre von den linearen Substitutionen als eine neue bezeichnet, so ist das wohl so zu verstehen, dass die in den verschiedensten Abhandlungen (von Frobenius u. a.) zerstreuten Entwicklungen noch nicht gesammelt in die Lehrbücher übergegangen sind.
Der Grundgedanke ist die symbolische Repräsentation einer linearen Substitution: (1) \(y_i=\alpha_{i1} x_1+\alpha_{i2} x_2+\cdots+\alpha_{in} x_n\) \((i=1, 2, \dots, n)\) durch die lineare Form (2) \(t=\sum \alpha_{ij} \tau_{ij}\), wo die Symbole \(\tau_{ij}\) den Relationen unterliegen: (3) \(\tau_{ij} \tau_{kl}=0\) \((j\lessgtr k)\), \(\tau_{ij} \tau_{jl}=\tau_{il}\). Die Summe \(s+t\) zweier Substitutionen \(s\), \(t\) ist durch \(\sum (\alpha_{ij}+\beta_{ij}) \tau_{ij}\) definirt, ebenso das Product \(st\) (wo erst \(t\) dann \(s\) ausführen ist) durch das Product der repräsentirenden Formen.
Die Substitution \(\tau_{11}+\tau_{22}+\cdots+\tau_{nn}\) spielt die Rolle der Einheit, wird also gleich Eins gesetzt; eine Zahl \(a\) stellt die Substitution \(a\tau_{11}+a\tau_{22}+\cdots+a\tau_{nn}\) dar; mithin stellt auch \(f(s)\), wenn \(f(x)\) ein ganzes Polynom in \(\chi\) bedeutet, eine bestimmte Substitution dar.
Unter den Substitutionen spielen eine ausgezeichnete Rolle einmal die “elementaren” \(\tau_{ij}\), andererseits die “primären” \(a+b \tau_{ij}\). Jede Substitution ist in primäre Factoren zerlegbar. Es werden weiter der Reihe nach betrachtet die charakteristische Function einer Substitution, die Normalformen, auf die sich eine rationale Function einer Substitution bringen lässt, die Substitutionen von der Determinante Null, und die vertauschbaren Substitutionen.
Die vertauschbaren Substitutionen werden dahin verallgemeinert, dass man hat: \(st=\varepsilon ts\), wo \(\varepsilon\) eine Zahl bezeichnet: \(s\) und \(t\) heissen dann “quasi-vertauschbar”.
Für eine Einführung in den Gegenstand erscheint die Abhandlung des Verf. wohl geeignet; durch Hinzufügung von Litteraturnachweisen würde sie freilich ihren Zweck noch besser erfüllen.

Full Text: EuDML