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Ueber endliche Gruppen linearer Transformationen einer Veränderlichen. (German) JFM 27.0104.02

Herleitung der bekannten Sätze auf geometrischem Wege, unter Vermeidung nichteuklidischer Betrachtungen.
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References:

[1] Vgl.Klein: Math. Ann., Bd. IX, S. 191.
[2] Klein:Vorlesungen über das Ikosaeder..., S. 116.
[3] Es ist nicht schwer einzusehen, dass, fallsjede Form des Büschels (1) eine mehrfache Wurzel besitzen sollte, letztere allen Formen des Büschelsgemeinsam sein muss; und das kann allerdings hier nicht vorkommen.
[4] Vgl.Klein, Math. Ann., Bd. IX, S. 195–196.
[5] Mémoire sur les équations differentielles linéaires à intégrale algébrique (Crelle’s Journ., Bd. LXXXIV, 1878);Sur la détermination des groupes d’ordre fini contenus dans le groupe linéaire (Atti della R. Acc. di Napoli, 1880).
[6] Sur la réduction des équations différentielles linéaires aux formes intégrables (Mém. Sav. Etrang., vol. XXVIII, 1880–83).
[7] Gött. Nachr., Aug. 1875; weiter noch:Über die linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, welche algebraische Integrale besitzen (Crelle’s Journ., Bd. LXXXI, LXXXIV; 1875–78).
[8] Da die binären cubischen und biquadratischen Formen bereits Beispiele von Formen sind, die eine endliche Gruppe linearer Transformationen gestatten, so kann die Bestimmung der übrigen Formen, die ebenfalls eine endliche Gruppe solcher Transformationen zulassen, und daher diejenige dieser Gruppen selber, die natürliche Fortsetzung der gewöhnlichen Theorie der binären Formen bis zum 4ten Grade bilden, wie man dieselben in einer Vorlesung zu behandeln pflegt, namentlich dann, wenn in den vorangehenden Auseinandersetzungen dergeometrische (daher auch derprojective) Gesichtspunkt ganz besonders hervorgetreten ist. Das war aber geradezu in einer von mir während dieses Jahres an der hiesigen Universität gehaltenen Privatvorlesung der Fall.–Die Bestimmung der einzelnen projectiven Gruppen sollte nach HerrnKlein’s Aufsatz in Ann., Bd. IX erfolgen; doch musste ich dabei einerseits auf einzelne Punkte näher eingehen, anderseits suchte ich die nicht euklidischen Betrachtungen des Verf. möglichst zu vermeiden, da die Studenten meistens die dazu nothwendige Vorbereitung nicht besitzen. Da dieser Gegenstand, soviel mir bekannt ist, von diesem Standpunkte aus aber bisher nicht behandelt worden ist, so will ich hier kurz mein Verfahren augeben. Hiebei werde ich selbstverständlich mich möglichst kurz fassen, wo ich nicht wesentlich Neues zu bieten vermag (§§ 10–12). Ich darf vielleicht noch hinzufügen, dass in einer mir von HerrnEnriques zur Verfügung gestellten Ausarbeitung von Prof.Bianchi’s Vorlesung über Substitutionentheorie an der Normalschule der Universität Pisa die Frage, um die es sich hier handelt, analytisch vollständig untersucht wird; dabei treten allerdings noch geometrische Auseinandersetzungen hinzu, aber es wird noch kein vollständiger geometrischer Beweis gegeben.
[9] Vgl.Cayley:On the correspondence of homographies and rotations (Math. Ann., Bd. XV);Stephanos:Mémoire sur la représentation des homographies binaires par des points de l’espace... (ibid., Bd. XXII).
[10] Es ist das die sog.kanonische Darstellung der projectiven Geometrie eines einförmigen Gebildes (Enriques:Conferenze di Geometria autogr. Vorl.; Bologna, 1895). Vgl. auch meine Abhandl.:Sulle varieta algebriche con un gruppo continuo non integrabile di trasformazioni proiettive in sè, §. 5 (Mem. della R. Acc. di Torino, S. 2a, t XLVI; 1896).
[11] Die aber jedenfalls imaginär sein wird, falls wir im Raume von einem reellen Coordinatensystem ausgegangen sind.
[12] Klein:Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen (Leipzig, 1872); §§. 5, 6.
[13] Vgl. die Abh.:Über eine neue Verwandtschaft zwischen ebenen Figuren (Leipz. Sitzungsber., Math.-Phys. Classe, Bd. 4, 1853);Die Theorie der Kreisverwandtschaft in rein geometrischer Darstellung (Leipz. Abh., Bd. 2, 1855; od. auch Ges. Werke, Bd. II)
[14] Klein:Vergleichende Betrachtungen...(Vgl. insbes. die dem §. 6, beim Abdruck in Ann., Bd. XLIII, hinzugefügte Note.)
[15] Dadurch sind aber sämmtliche birationale Transformationen der Ebene erschöpft, bei denen Kreislinien in ebensolche übergehen.
[16] Vgl.Theorie der Transformationsgruppen, Bd. I, Cap. 18, S. 315–316.
[17] Die Gruppe der Kreisverwandtschaften wird öfters alsGruppe der reciproken Radien bezeichnet. Ich darf aber darauf aufmerksam machen, dass die eigentlichenTransformationen durch reciproke Radien bloß ein ganz besonderer Fall von Transformationen dieser Gruppe (und zwar voninversen Kreisverwandtschaften) sind.
[18] Ich brauche kaum daran zu erinnern, wie oft diese Darstellung der complexen Variablen auf der Kugelfläche (beispw. in der Functionentheorie) sich als höchst nützlich erwiesen hat
[19] Auf der Kugelfläche ist nun auch die in der ebenen Abbildung auftretende Ausnahme, wobei gerade Linien als specielle Kreise erschienen, bei Seite geschafft.
[20] Die bez. Antwort, wenn auch bejahend, ist keineswegs unmittelbar, um so mehr, da wir einfach wissen, wie diereellen Punkte der Kugelfläche untereinander transformiert werden.–Übrigens hätte man auch direct beweisen können, dass bei Kreisverwandtschaften in der Ebene Kreisbüschel und Kreisbündel in ebensolche übergehen; das wollen wir aber nicht voraussetzen.
[21] LiegtP auf der Kugelfläche, so sind etwaA, B,... als mitP selbst zusammenfallend anzusehen.
[22] Bei jedem auf der Kugelfläche eventuell liegenden Doppelpunkte sind daher, im Büschel der bez. Tangenten, die die beiden imaginären Erzeugenden vertauschenden und jedenfallssymmetrischen Involutioneu auszuschließen.
[23] Es ist nicht schwer einzusehen, dass bei einer parabolischen Transformation sogar sämmtliche Tangenten an die Kugelfläche, die den einzigen auf derselben liegenden Doppelpunkt enthalten, und sämmtliche Punkte einer aus diesen Tangenten in sich selbst übergehen müssen.
[24] Dasselbe Resultat würden wir auch folgendenmaßen erschließen können: Bei jederreellen projectiven Raumtransformation geht mindestens einereelle Gerade in sich über. Denn eine solche ist durch jeden eventuell vorhandenen reellen Doppelpunkt zu finden; und falls reelle Doppelpunkte nicht existieren, so sind jedenfalls zwei conjugiert imaginäre zu finden, deren Verbindungslinie einereelle Gerade sein wird. Mit dieser einen geht auch ihre Polarreciproke in Bezug auf die Kugel in sich über; und eine der beiden muss eben die Kugel in reellen (auch in sich selbst übergehenden) Punkten treffen. Und falls die beiden Durchschnittspunkte zusammenfallen sollten, würde die entsprechende Transformation jedenfalls nicht cyclisch, folglich für uns auszuschließen sein.
[25] Gründen wir im Raume auf unsere Kugel als Fundamentalfläche eineProjective Maassbestimmung, wobei für die im Innern der Kugel liegenden Punkte eine ”Nicht-Euklidische” und zwar eine”Hyperbolische” Geometrie gelten wird, so erscheinen die von uns zu betrachtenden Operationen einfach als die in dieser neuen Geometrie auftretendenRotationen um irgend einerelle Axe. Und als”Nicht-Euklidische” Rotationen behandelt sie eben auch HerrKlein (in Ann., Bd. IX). Mit den reellen projectiven Umformungen einer Kugelfläche (immer noch als Bild der linearen Transformationen einer complexen Veränderlichen betrachtet) hat sich HerrKlein weiterhin auch in seiner Autogr. Vorlesung über”Nicht-Euklidische Geometrie” (Sommersem. 1890, Bd. II, S. 177 u. ff.) beschäftigt. Sieht man von den parabolischen Transformationen ab, so werden die übrigen Transformationen–diejenigen also, die auf der Kugelfläche getrennte Punkte ungeändert lassen–je nach dem Werte der bez. absoluten Invariante, inelliptische, hyperbolische undloxodromische getheilt. Unsereprojective Rotationen sind ein besonderer Fallelliptischer Transformationen, insofern die hier einer Einheitswurzel gleiche absolute Invariante ebenden Modul eins hat. Hyperbolische Transformationen sind ebenfalls axiale Collineationen, also auchRotationen, aber um eineideale (d. h.die Kugel nicht treffende) Axe. Endlich sind die loxodromischen Transformationen die allgemeinsten, d. h. dieelicoidalen Nicht-Euklidischen Bewegungen.
[26] So würde es eben der Fall sein, wenn die beiden vorgelegten Operationen geradezu Involutionen (d. h. geschaart-involutorische Collineationen) sein sollten. Haben wir nämlich auf einer Punktreihe zwei Involutionen miteinem gemeinsamen Doppelpunkte, und werfen diesen einen ins Unendliche, so bekommen wir zweiSpiegelungen, deren Product eineTranslation, also eine parabolische Transformation ist.
[27] Diese Dualitätsumformung ist keineswegs nothwendig; sie gestattet aber die Sache leichter einzusehen.
[28] Was dieNicht-Euklidische (und zwar immer diehyperbolische) Geometrie angeht, so dürfen wir nun schließen, dass in Letzterer das Product aus zwei Rotationen um zwei eigentliche und in einer Ebene liegende, aber sich nicht treffende und zugleich auch nicht parallele Axen möglicherweise auch eine Rotation um eine sog.ideale Axe sein kann; d. h. eine Operation für die sämmtliche Ebenen eines eigentlichen Büschels (statt Punkten einer eigentlichen geraden Linie Doppelelemente sind, wobei dann jeder Punkt in der ihn enthaltenden Ebene des Büschels längs einerLinie gleicher Entfernung von der gemeinsamen Axe fortschreiten wird.
[29] Bringt nämlich irgend eine Drehung um den Kugelmittelpunkt ein reguläres Oktaeder mit sich zur Deckung, so ist das auch mit demjenigen (in derselben Kugel eingeschriebenen) Würfel der Fall, dessen Ecken den Mittelpunkten der Seitenflächen des Oktaeders entsprechen (und umgekehrt). Ebenso geschieht es beim Ikosaeder und Pentagondodekaeder; es sind eben die nämlichen Figuren zu je zweien polar.
[30] Jede einzelne dieser Gruppe kann durch eine ihrer eigenen Ordnung gleiche Anzahl vonOperationen 2 ter Art erweitert werden. (Vgl.Klein, Math. Ann., Bd. IX, S. 190;Vorlesungen über das Ikosaeder ... S. 20.) Diese weiteren Operationen werden analytisch durch bilineare Gleichungen zwischenz’ und dem mitz conjugierten Wertez dargestellt.–HerrKlein hat auch die Frage nach den diesen Gruppen entsprechendenvollen Formensystemen ausührlich behandelt.
[31] Vgl. auch den Aufsatz:Weitere Untersuchungen über das Ikosaeder (Math. Ann., Bd. XII).
[32] Klein:Vorlesungen Über das Ikosaeder..., S. 18.
[33] Diese Gruppe enthält alsgleich berechtigte Untergruppen dreiDiedergruppen (2ter Fall)n=4, die dadurch charakterisiert sind, dass je eines der drei harmonischen Paare ungeändert bleibt, während die beiden Anderen auch vertauscht werden dürfen. Alsinvariante (den drei jetzt genannten gemeinsame)Untergruppe enthält dieselbe eine Diedergruppen=2, bei welcher ein jedes der drei harmonischen Paare in sich übergeht.
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