×

Geometry of Numbers. (Geometrie der Zahlen. In 2 Lieferungen. Lfg. 1.) (German) JFM 27.0127.09

Leipzig: B. G. Teubner. 240 S. \(8^\circ.\) (1896).
Dieses Buch, welches Ch. Hermite zum 70. Geburtstage gewidmet ist, giebt eine zusammenfassende Darstellung derjenigen Errungenschaften, durch welche Minkowski die höhere Zahlentheorie bereichert hat. In der bislang allein erschienenen Lieferung sind bereits die meisten allgemeinen Theoreme, so wie vor allem die Grundlagen der Methode entwickelt. Diese letztere ist zwar eine rein analytische. Indessen sind die analytischen Entwickelungen solche, welche für \(n=3\) Schritt für Schritt einer geometrischen Deutung im gewöhnlichen Raume fähig sind. Diese Sachlage hat den Verf. veranlasst, auch im allgemeinen Falle \(n\) die für \(n=3\) zutreffenden geometrischen Benennungen beizubehalten, eine Massnahme, deren heuristische Bedeutung sich hier glänzend bewährt.
Die eigentliche Grundlage der ganzen Methode bildet der Begriff der “nirgends concaven Fläche” in einem linearen Raume von \(n\) Dimensionen. Das erste Kapitel hat das Ziel, diesen Begriff zu begründen. Es seien \(x_1,\dots,x_n\) die Coordinaten der Punkte im gedachten Raume, und es seien durch \(x_i=a_i\), \(x_i=b_i,\dots\) einzelne Punkte fixirt, die auch kurz \(\mathfrak a,\mathfrak b,\dots\) heissen mögen. Unter “Strahldistanz” \(S(\mathfrak a\mathfrak b)\) zweier Punkte \(\mathfrak a,\;\mathfrak b\) wird alsdann irgend eine reelle Function dieser beiden Punkte verstanden, welche die “Entfernung” dieser Punkte nur als specielles Beispiel umfasst, allgemein aber durch folgende Bedingungen fixirt ist:
1) \(\mathfrak a,\;\mathfrak b\) hat einen bestimmten positiven Wert, wenn \(\mathfrak a\) von \(\mathfrak b\) verschieden ist, den Wert \(0,\) falls \(\mathfrak a\) und \(\mathfrak b\) zusammenfallen.
2) Stehen die Coordinaten von vier Punkten \(\mathfrak a,\mathfrak b,\mathfrak c,\mathfrak d\) in der Beziehung \(d_i-c_i=t(b_i-a_i),\) so soll \(S(\mathfrak c\mathfrak d)=tS(\mathfrak a\mathfrak b)\) sein.
3) Einhellig heissen die Strahldistanzen, falls für irgend drei Punkte \(\mathfrak a,\;\mathfrak b,\;\mathfrak c\) die Bedingung \(S({\mathfrak a}{\mathfrak c})\leqq S({\mathfrak a\mathfrak b})+S({\mathfrak b\mathfrak c})\) besteht.
4) Wechselseitig heissen die Strahldistanzen, falls die Gleichung \(S({\mathfrak a\mathfrak b})=S({\mathfrak b\mathfrak a})\) besteht.
Setzt man speciell für \( S({\mathfrak a\mathfrak b})\) die “Entfernung”der beiden Punkte \({\mathfrak a,\;\mathfrak b}\) so sind die Bedingungen 3) und 4) erfüllt.
Ist \(\mathfrak o\) der Nullpunkt, so bilden alle Punkte \(\mathfrak x\), für welche \(S({\mathfrak o}{\mathfrak x})=1\) ist, die “Aichfläche”, welche im Falle einhelliger Strahldistanzen eine “nirgends concave Fläche” vorstellt, und die andrerseits im Falle wechselseitiger Strahldistanzen im Nullpunkt centrirt erscheint. Irgend eine um \(\mathfrak o\) herumgelegte nirgends concave Fläche kann andrerseits als Aichfläche ein System einhelliger Strahldistanzen definiren. Die Aichfläche umgrenzt den Aichkörper. Die “Kugel” des Radius 1 um \(\mathfrak o\) liefert ein specielles Beispiel einer Aichfläche.
Zur Ausbildung der Theorie der Aichflächen werden einige weitere Begriffsbestimmungen definirt. Sind \(a_i,b_i\) die Coordinaten zweier Punkte \(\mathfrak a,\mathfrak b,\) so sind \((b_i-a_i)\) die “relativen Coordinaten” von \(\mathfrak b\) in Bezug auf \(\mathfrak a\). Das Maximum der absoluten Beträge der \(n\) Differenzen \((b_i-a_i)\) heisst “Spanne” \(E(\mathfrak a\mathfrak b)\) von \(\mathfrak a\) nach \(\mathfrak b\) (oder \(\mathfrak b\) nach \(\mathfrak a).\) Dividirt man die \(n\) relativen Coordinaten \((b_i-a_i)\) durch \(E(\mathfrak a\mathfrak b),\) so entspringen \(n\) Grössen, welche die “Richtung” von \(\mathfrak a\) nach \(\mathfrak b\) festlegen. Der Quotient \(S({\mathfrak a\mathfrak b}):E({\mathfrak a\mathfrak b})\) heisst der “Distanzcoefficient” der Richtung von \(\mathfrak a\) nach \(\mathfrak b.\) Versteht man unter \(S(\mathfrak a\mathfrak b)\) die “Entfernung” von \(\mathfrak a\) und \(\mathfrak b,\) so ist (bei rechtwinkligen Coordinaten \(x_i)\) offenbar \(E(\mathfrak a\mathfrak b)\leqq S({\mathfrak a}{\mathfrak b})\leqq \sqrt{n} E({\mathfrak a}{\mathfrak b}).\) Minkowski zeigt für beliebige Strahldinstanzen eine entsprechende Bedingung \(gE(\mathfrak a\mathfrak b)\leqq S({\mathfrak a\mathfrak b})\leqq GE({\mathfrak a\mathfrak b}),\) wo \(g\) und \(G\) zwei Constanzen sind, die einzig vom ausgewählten System der Strahldistanzen abhängen. Alle Punkte \(\mathfrak x,\) deren Coordinaten die \(n\) Ungleichungen \(- t\leqq x_i-a_i\leqq t\) erfüllen, bilden einen “Würfel” des Centrums \(\mathfrak a\) und der Kante \(2t.\) Irgend \(n\) Punkte \({\mathfrak a}_1,\dots,{\mathfrak a}_n,\) die unter sich und von \(\mathfrak o\) verschieden sind, bilden mit \(\mathfrak o\) die \((n+1)\) Ecken einer “Zelle”, deren “Spitze” \(\mathfrak o\) und deren “Basispunkte” die \(\mathfrak a\) sind. Für \(n=3\) hat man Tetraeder. Diese letzteren Gebilde dienen namentlich dem Zwecke, die Volumenbestimmung des Aichkörpers vorzubereiten, indem letzterer durch ein Netz von Würfeln mit kleiner und kleiner zu wählenden Kanten ausgefüllt wird. Uebrigens entwickelt das zweite Kapitel die weiteren Sätze über Begriffsdefinition und Berechnung des Volumens bei den Aichkörpern und Strahlenkörpern, welche letzteren die Aichkörper als Specialfälle umfassen, selber jedoch vornehmlich wegen einer etwas weiteren Bedeutung des Symbols \(S(\mathfrak a\mathfrak b)\) noch allgemeiner erklärt sind. Als besonders wichtiger Specialfall wird die Bestimmung des Parallelepipedons durchgeführt. Ist letzteres durch die \(n\) Bedingungen \(-1\leqq \xi_i\leqq +1\) gegeben, wo zur Abkürzung \(a_{1i}x_1+ a_{2i}x_2+\cdots+ a_{ni}x_n=\xi_i\) gesetzt ist, so findet sich als Volumen \(2^n/abs. D,\) wo im Nenner der absolute Wert der Determinante der \(n^2\) Coefficienten \(a_{ik}\) gemeint ist.
Das dritte und vierte Kapitel entwickeln Anwendungen. Im dritten Kapitel werden Sätze über nirgends concave Körper bewiesen, welche in Folge ihres Volumens mehr als einen “Gitterpunkt” (Punkt mit ganzzahligen Coordinaten) enthalten. Diese, auch für sich genommen, höchst merkwürdigen Sätze werden dann im vierten Kapitel zur Grundlage für die Lösung einer Reihe zahlentheoretischer Probleme, denen die bisherigen Methoden nicht gewachsen waren.
Die sämtlichen Punkte ganzzahliger Coordinaten liefern das sogenannte “Zahlengitter”. Ist irgend ein System von Strahldistanzen gegeben, so heissen die Strahldistanzen zweier Gitterpunkte kurz “Strahldistanzen im Zahlengitter”. Handelt es sich um einhellige und wechselseitige Strahldistanzen, so existirt für die kleinste Strahldistanz \(M\) im Zahlengitter eine obere Grenze, die allein vom Volumen des zugehörigen Aichkörpers abhängt. Aus diesem Umstande lässt sich eine Reihe von Sätzen über nirgends concave Körper ableiten, welche durch folgende Beispiele charakterisirt sein mögen: Ein nirgends concaver Körper mit einem Mittelpunkt in einem Gitterpunkte und von einem Volumen \(=2^n\) enthält immer noch mindestens zwei weitere Gitterpunkte entweder im Innern oder auf seiner Begrenzung. Schreibt man \(S(\mathfrak{ox})\) als Function der Coordinaten von \(\mathfrak x\) etwa \(f(x_1,\dots,x_n),\) so ist \(f(x_1,\dots,x_n)\) eine durch gewisse Functionalbedingungen (die den eingangs genannten Bedingungen für \(S(\mathfrak {ox})\) entsprechen) definirte Function. Das \(n\)-fache Integral \(\int dx_1\dots dx_n,\) mit lauter positiven Integrationsrichtungen über den Bereich \(f(x_1,\dots,x_n)\leqq 1\) erstreckt, hat alsdann nach den Entwickelungen des zweiten Kapitels einen bestimmten Wert \(J\). Der vorhin ausgesprochene Satz lässt sich dann auch dahin formuliren, dass es mindestens ein System ganzer, nicht durchgängig verschwindender Zahlen \(l_1,\dots,l_n\) giebt, für welches gilt \(0<f(l_1,l_2,\dots,l_n)\leqq 2/ \root n\of J\). Wird \(M\) in obiger Bedeutung gebraucht, so werden die Körper der Strahldistanzen \(\leqq M/2\) um die verschiedenen Gitterpunkte zwar Punkte der Begrenzung, aber keine inneren Punkte gemein haben. Diese mit einander congruenten Körper sollen “Stufen im Zahlengitter” genannt werden. Von besonderer Bedeutung sind die “Stufen grössten Volumens”, welche eine lückenslose Ausfüllung des Raumes bewerkstelligen. Eine einzelne solche Stufe muss ebenflächig begrenzt sein; und es gilt der Satz, dass hierbei höchstens \((2^{n+1}-2)\) Ebenen (Stützebenen) auftreten.
Bei den im vierten Kapitel entwickelten Anwendungen wird an der Bezeichnung \(S({\mathfrak ox})=f(x_1,\dots,x_n)\) festgehalten, so dass ein nirgends concaver Körper mit \(\mathfrak o\) als Mittelpunkt durch \(f(x_1,\dots,x_n)\leqq 1\) gegeben ist. Erstlich wird ein Fundamentalsatz aus der Theorie der linearen Formen mit beliebigen reellen Coefficienten entwickelt. Es seien \(\nu\) Formen \(\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_\nu\) dieser Art mit \(\nu\geqq n\) gegeben, und unter ihnen mögen jedenfalls \(n\) unabhängige vorkommen; \(\varphi(x_1,\dots,x_n)\) bedeute ferner das Maximum unter den absoluten Beträgen der \(\xi_1,\dots,\xi_\nu\) für das Wertsystem \(x_1,\dots,x_n\). Dann hat die Function \(\varphi\) alle Eigenschaften von \(f,\) so dass sich die im dritten Kapitel für \(f\) entwickelten Sätze auf \(\varphi\) anwenden lassen. Ist demnach \(J\) der Wert des Integrals \(\int dx_1\dots dx_n,\) mit lauter positiven Integrationsrichtungen über den Bereich \(-1\leqq\xi_1\leqq 1,\dots, -1\leqq\xi_\nu\leqq 1\) erstreckt, so giebt es nach einem eben erwähnten Satze mindestens ein System nicht durchgängig verschwindender ganzer Zahlen \(x_i,\) für welche die Ungleichungen bestehen \(\text{abs. }\xi_1\leqq 2/ \root n \of J,\dots,\;\text{abs. }\xi_\nu\leqq 2/ \root n\of J\). Ist insbesondere \(\nu=n,\) so folgt aus der Volumenbestimmung des Parallelepipeds \(J=2^n/\text{abs. }\varDelta,\) wo \(\varDelta\) die von 0 verschiedene Determinante des Systems der Formen \(\xi_1,\dots,\xi_n\) ist. Jetzt giebt es demnach mindestens ein System nicht durchgängig verschwindender ganzer Zahlen \(x_i,\) für welches die absoluten Beträge aller \(\xi\) kleiner als \(\root n\of {\text{abs. }\varDelta}\) sind. Handelt es sich um \(n\) Formen \(v_1,\dots,v_n\) nicht verschwindender Determinante \(\varDelta,\) und haben \(r\) unter jenen Formen reelle Coefficienten, während die \(2s=n-r\) übrigen Formen paarweise conjugirt complex sind, so lautet der Satz so: Es giebt mindestens ein System nichtdurchgängig verschwindender ganzer Zahlen \(x_i,\) für welches die \(n\) absoluten Beträge der \(v_i\) sämtlich \(<(2/\pi)^\frac{s}{n}\root n \of {\text{abs. }\varDelta}\) sind. Nicht minder wichtig ist die Bestimmung einer Function \(f(x_1,\dots,x_n)\) durch: \[ f(x_1,\dots,x_n)=\left[\frac{(\text{abs. } v_1)^p +\cdots+(\text{abs. } v_n)^p}{n}\right]^\frac{1}{p}. \] Ist \(p\leqq 1,\) so stellt \(f=1\) in der That eine nirgends concave Fläche vor, die zudem für \(p>1\) überall convex ist. Die \(v_1,\dots, v_n\) sind hierbei in der eben genannten Bedeutung gebraucht. Die oben genannten allgemeinen Sätze führen hier, abgesehen von einem bei \(p=1,\) \(s=0,\) \(n=2\) eintretenden Ausnahmefalle, auf folgendes Theorem: Es giebt immer mindestens ein System nicht durchgängig verschwindender ganzer Zahlen \(x_i,\) für welches die Ungleichung gilt: \[ \frac{(\text{abs. } v_1)^p+\cdots +(\text{abs. } v_n)^p}{n} < \left[\left(\tfrac{2}{\pi}\right)^s\;\frac{n^{- \frac{n}{p}}\varGamma\left(1+\frac{n}{p}\right)}{\left[\varGamma\left (1+\frac{1}{p}\right)\right]^r\cdot 2^{-\frac{2s}{p}}\cdot \left[\varGamma\left(1+\frac{2}{p}\right)\right]^s}\;\text{abs. } \varDelta\right]^{\frac{p}{n}}. \] Die \(\varGamma\)-Function stellt sich bei Auswertung des Volumens des vorliegenden Aichkörpers ein. Für \(p=2,\) d. i. im Falle definiter quadratischer Formen, ist dieses Theorem bereits von Hermite im 40. Bande des Journals für Math. ausgesprochen. Diese Untersuchung Hermite’s lieferte Minkowski die erste Anregung zu seinen Untersuchungen.
Auf Grundlage der letzten Sätze erwächst nun Minkowski’s Beweis des Satzes, dass die Grundzahl \(D\) eines jeden Gattungsbereiches algebraischer Zahlen (abgesehen vom rationalen) absolut \(>1\) ist, oder dass es für jede nicht-rationale ganze algebraische Zahl \(\theta\) “kritische”, d. i. von 1 verschiedene, in \(D\) aufgehende Primzahlen giebt. Mögen nämlich \(\theta_1,\dots,\theta_n\) \(n\) conjugirte ganze Zahlen sein, so mögen ihnen \(n\) positive Constanten \(c_1, \dots,c_n\) entsprechen, welche folgenden beiden Bedingungen genügen: Für etwaige conjugirt complexe \(\theta\) sollen die \(c\) gleich sein, und es soll \(c_1c_2\dots c_n=1\) sein. Nun mögen die \(n\) ganzen Zahlen \(A_1(\theta),\dots,A_n(\theta)\) eine Minimalbasis des Gattungsbereichs von \(\theta\) bilden, d. i. ein System ganzer Zahlen mit der Grundzahl \(D\) als Discriminante. Es werden dann durch: \(x_1A_1(\theta_h)+\cdots+x_nA_n(\theta_h)=A(\theta_h),\) \(\frac{A(\theta_h)}{c_h}=v_h\) (mit \(h=1,\dots, n)\) im ganzen \(n\) lineare Formen \(v_h\) der Determinante \(\pm \sqrt D\) definirt. Mögen unter ihnen \(r\) reelle Formen \(\xi_1,\dots,\xi_r\) und \(s\) Paare conjugirt complexer \(\frac{\eta_1\pm i\zeta_1}{\sqrt 2},\cdots,\frac{\eta_s\pm i\zeta_s}{\sqrt 2}\) enthalten sein; dann sind \(\xi_1,\dots,\xi_r,\) \(\eta_1,\dots,\eta_s,\) \(\zeta_1,\dots,\zeta_s\) \(n\) reelle Formen der Determinante \(\pm\sqrt{\text{abs. }D.}\) Es giebt demnach mindestens ein System rationaler ganzer, nicht durchgängig verschwindender \(x_i,\) für welches die absoluten Werte dieser \(n\) Formen sämtlich \(\leqq \text{abs. }D^\frac{1}{2n}\) sind, und für welches demnach auch gilt: \[ (1)\quad \text{abs. } v_1 \leqq \text{abs. } D^\frac{1}{2n},\dots,\;\text{abs. } v_n\leqq \text{abs. } D^\frac{1}{2n}. \] Durch Multiplication folgt \(\text{abs. } v_1v_2\dots v_n\leqq\text{abs. }\sqrt D\) oder wegen \(c_1c_2\dots c_n=1:\;\text{abs. Norm } A(\theta)\leqq \text{abs. }\sqrt D.\) Infolge der ganzzahligen \(x_i\) steht hier links eine ganze rationale Zahl \(\leqq 1,\) so dass entweder mindestens ein \(\text{abs. }>1\) oder alle \(=1\) sind. Im ersten Falle folgt aus (1) sofort \(\text{abs. } D>1,\) was zu zeigen war. Im zweiten Falle müssten die \(c\) gleich den absoluten Beträgen der ganzen algebraischen Zahen \(A(\theta_h)\) sein, was sich jedoch, abgesehen vom Falle \(n=2,\) \(s=1,\) durch zweckmässige Auswahl der \(c\) vermeiden lässt. Also ist bis auf \(n=2,\;s=1\) die Ungleichung \(\text{abs. } D>1\) bewiesen. Der Ausnahmefall wird durch einen zweiten Beweisgang miterledigt, welcher nur für \(s>0\) gilt und an die oben angegebene Formel \(\text{abs. } v_i<(2/ \pi)^\frac{s}{n}\root n \of{\text{abs.\,} \varDelta}\) anknüpft. Noch genauere Ungleichungen für \(D\) entspringen unter Gebrauch von \[ f(x_1,\dots,x_n)=\left[\frac{(\text{abs. } v_1)^p+\cdots+(\text{abs. } v_n)^p}{n}\right]^\frac{1}{p}, \] wo \(v_1,\dots,v_n\) ihre zuletzt erklärte Bedeutung behalten. Es ergiebt sich \(\text{abs. } D>\left[\left(\frac{\pi}{4}\right)^s\frac{n^n}{1.2\dots n}\right]^2.\) Für \(n=2\) ist demnach \(D\) entweder \(\geqq 5\) oder \(\leqq -3;\) für \(n=3\) hat man entweder \(D>20\) oder \(D<-12\) u. s. w.
Eine weitere Anwendung der Theorie der nirgends concaven Flächen bezieht sich auf die Approximation einer Anzahl reeller Grössen durch rationale Brüche. Es gilt folgender Satz: Sind \((n-1)\) reelle Grössen \(a_1,\dots,a_{n-1}\) gegeben, so kann man immer \(n\) ganze Zahlen \(x_1,\dots,x_n\) ohne gemeinsamen Teiler finden, für welche die Beträge \[ \text{abs. } \left( \frac{x_1}{x_n}- a_1\right),\dots,\text{abs. }\left( \frac{x_{n-1}}{x_n}- a_{n-1}\right) \] sämtlich unterhalb einer beliebig angenommenen positiven Grösse und zugleich unterhalb \(\frac{n-1}{nx_n^\frac{n}{n-1}}\) liegen. Weiterhin wird die Lehre von den nirgends concaven Flächen mit der Dirichlet’schen Einheitstheorie, der Theorie der Kettenbruchentwickelungen sowie endlich derjenigen der indefiniten binären quadratischen Formen ausführlich in Beziehung gesetzt. Im fünften Kapitel wird zunächst der Begriff der “rationalen Richtungen” erklärt; die von \(\mathfrak o\) ausgehenden rationalen Richtungen sind eben diejenigen, welche nach den gesamten übrigen Punkten des Zahlengitters hinführen. Es heissen \(n\) von \(\mathfrak o\) ausziehende Richtungen “unabhängig”, wenn sie nicht sämtlich in einem linearen Raume von weniger als \(n\) Dimensionen gelegen sind. Bei gegebenem System von Strahldistanzen wird ein System von Gitterpunkten \(\mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_n\) aufgestellt, welche von \(\mathfrak o\) aus in \(n\) unabhängigen Richtungen liegen, und für welche \(S_1=S(\mathfrak{op}_1),\dots,S_n=S(\mathfrak{op}_n)\) ein “kleinstes System von Strahldistanzen” im Zahlengitter ausmachen; dabei sind die Punkte \(\mathfrak p\) so geordnet, dass \(S_1\leqq S_2\leqq\dots\leqq S_n\) ist. Stellt demnach jetzt \(\mathfrak q_1,\dots,\mathfrak q_n\) ein zweites System von Punkten vor, so werden die Differenzen: \(S({\mathfrak oq}_1)-S_1,\dots, S({\mathfrak oq}_n)-S_n\) entweder sämtlich verschwinden, oder die erste nicht-verschwindende Differenz ist positiv. Im ersteren dieser beiden Fälle ist auch \({\mathfrak q}_1,\dots,{\mathfrak q}_n\) ein Punktsystem mit kleinsten Strahldistanzen im Zahlengitter. Der Verf. beweist das Theorem, dass für die Auswahl eines solchen Punktsystems mit kleinsten Strahldistanzen im Gitter gewiss nicht mehr als \((2^{n+1}-2)^n\) Möglichkeiten existiren, vorausgesetzt, dass Strahldistanzen einhellig und wechselseitig sind, und dass die zugehörige Aichfläche wenigstens in allen rationalen Richtungen convex ist. Dieses Theorem gestattet zwei wichtige Anwendungen, nämlich auf die “endlichen Gruppen ganzzahliger linearer Substitutionen” sowie auf die “Transformationen definiter quadratischer Formen in sich”. Im ersten Falle entspringt das Theorem, dass die Ordnung einer solchen Gruppe stets \(\leqq (2^{n+1}-2)^n\) ist. Der Grundgedanke des Beweises ist folgender. Mögen \(T({\mathfrak ab})\) einhellige und wechselseitige Strahldistanzen mit einer in allen rationalen Richtungen convexen Aichfläche sein. Der zugehörige Aichkörper wird durch die Substitutionen der Gruppen (wenn deren Ordnung \(\omega\) ist) im ganzen in \(\omega\) Körper transformirt, deren gemeinsamer Bestandteil als neuer Aichkörper für Strahldistanzen \(S({\mathfrak ab})\) eingeführt wird. Letztere sind gleichfalls einhellig, wechselseitig und von einer in allen rationalen Richtungen convexen Aichfläche. Das Wichtigste ist, dass diese Strahldistanzen \(S({\mathfrak ox})\) gegenüber der Gruppe invariant sind. Ein erstes Punktsystem \({\mathfrak p}_1,\dots,{\mathfrak p}_n\) mit kleinsten Strahldistanzen wird demnach bei Transformation durch die Substitutionen der Gruppe insgesamt \(w\) solche Punktsysteme liefern, welche sich vermöge des Begriffs der unabhängigen Richtungen leicht als verschieden erweisen. Demnach ist in der That \(\omega\leqq (2^{n+1}-2)^2.\) Ein weiteres, sehr folgenreiches Theorem besagt, dass die einzelne der in Rede stehenden Substitutionen, sofern sie nicht die identische Substitution selbst ist, letzterer auch niemals nach einem Modul \(l\geqq 3\) congruent sein kann. Es können demnach auch keine zwei mod.\(l\) congruente Substitutionen in der Gruppe vorkommen. Dieser Umstand gestattet wichtige Schlüsse auf die Ordnung \(w\) der Gruppe sowie auf die in \(w\) aufgehenden Primzahlpotenzen. Ist \(f(x_1,\dots,x_n)\) eine positive quadratische Form, so stellt \(f=1\) ein “Ellipsoid” vor, welches als Aichfläche eingeführt wird. Dass \(f\) nicht mehr als \((2^{n+1}-2)^n\) ganzzahlige lineare Substitutionen in sich zulassen kann, ist alsdann eine unmittelbare Folge der voraufgesandten Theoreme. Im Mittelpunkte der weiteren Betrachtungen steht die Ungleichung \(S_1. S_2\dots S_n. J\leqq 2^n,\) welche die früheren Ungleichung \(M^nJ\leqq 2^n\) als specielle Folgerung zulässt. In der allgemeineren Gestalt liefert die Ungleichung für den Fall eines Ellipsoides” als Aichfläche Ansätze, aus denen man die Endlichkeit der Klassenanzahl definiter quadratischer Formen in \(n\) Variabeln erkennt. Es schliessen sich weiter eingehendere Betrachtungen über die Volumina und sonstige Eigenschaften oval geformter Flächen an. Diese Betrachtungen sollen erst in der zweiten Lieferung zu Ende geführt werden.

MSC:

11-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to number theory
11H06 Lattices and convex bodies (number-theoretic aspects)
11H46 Products of linear forms
11H55 Quadratic forms (reduction theory, extreme forms, etc.)