A two-fold generalization of Fermat’s theorem. (English) JFM 27.0139.05

Moore, E. H.

Bull. Am. Math. Soc. 2, 189-199 (1896).

Der Fermatsche Satz \(a^p-a\equiv 0\pmod p\), wo \(p\) eine Primzahl und \(a\) eine beliebige ganze Zahl ist, wird zunächst so verallgemeinert: Die beiden Formen in den zwei unbestimmten \(X_0, X_1\) \[ \begin{aligned} & D[2,1;p](X_0,X_1) =X_0X_1^p-X_0^pX_1,\\ & P[2,1,p](X_0,X_1) =\prod(a_0X_0+X_1)\qquad(a_0=0,1,\ldots,p-1)\end{aligned} \] sind identisch congruent mod \(p\). Dann wird dieser Satz auf \(k+1\) Unbestimmte ausgedehnt. Alle modulo \(p\) congruenten ganzen Zahlen bilden eine “Klasse”, die \(p\) incongruenten Klassen ein “Feld” \(F(p)\) von der Ordnung \(p\) und dem Range 1. Die \(p\) “markirt” gedachten Klassen von \(F(p)\) können durch die vier ersten Grundoperationen der Arithmetik mit einander verbunden werden. Der Begriff des Feldes \(F(p)\) wird dann ferner erweitert zu dem Galois-Felde \(\mathrm{GF}(p^n)\) von der Ordnung \(p^n\), dem Modulus \(p\) und dem Range \(n\) mit \(p^n\) Marken \(\alpha\) das demnach nur für \(p= \) Primzahl, \(n= \) positiver ganzer Zahl definirt ist. Die vom Verf. gegebene Verallgemeinerung des Fermatschen Satzes lautet nun: Die beiden Formen in den \(k+1\) Unbestimmten \(X_0,X_1,\ldots,X_k\): \[ \begin{aligned} & D[k+1,n;p](X_0,X_1,\ldots,X_k) \equiv | X_j^{p^{ni}}| \quad (i,j=0,1,\ldots,k),\\ & P[k+1,n;p](X_0,X_1,\ldots,X_k) \equiv \prod^*\sum a_gX_g\quad (g=0,1,\ldots,k),\end{aligned} \] wo das Product \(\prod^*\) die \((p^{n(k+1)}-1)/(p^n-1)\) verschiedenen primitiven linearen homogenen Formen \(\sum a_gX_g\) umfasst, welche zu \(\mathrm{GF}(p^n)\) gehören, sind identisch.

Reviewer: Lampe, Prof. (Berlin)

MSC:

11A07	Congruences; primitive roots; residue systems
11T99	Finite fields and commutative rings (number-theoretic aspects)

JFM Section:

Dritter Abschnitt. Niedere und höhere Arithmetik. Kapitel 2. Zahlentheorie. A. Allgemeines.

Keywords:

finite fields; linear forms; Fermat’s theorem