On the distribution of zeros of the function \(\zeta(s)\) and its arithmetical consequences. (Sur la distribution des zéros de la fonction \(\zeta(s)\) et ses conséquences arithmétiques.) (French) JFM 27.0154.01

Hadamard, J.

S. M. F. Bull. 24, 199-220 (1896).

Die durch die Gleichung: \(\log \zeta(s)=-\sum_p\log\left(1-\frac{1}{p^s}\right)\) definirte Riemann’sche Function \(\zeta(s)\) verschwindet bekanntlich für keinen Wert von \(s\), deren reeller Bestandteil \(R(s)>1\) ist. Der Verf. zeigt, indem er sich nur auf die einfachsten Eigenschaften von \(\zeta(s)\) stützt, dass auch für kein \(s\) mit \(R(s)=1\) ein Nullpunkt von \(\zeta(s)\) eintreten kann. Die Betrachtung überträgt sich unmittelbar auf eine Reihe weiterer Functionen, für welche demnach dasselbe Resultat gilt. Vornehmlich sind hierbei diejenigen Functionen zu nennen, welche durch die von Dirichlet eingeführten Reihen definirt werden. Unter \(k\) eine ganze positive Zahl verstanden, werden die \(k\) Functionen gebildet: \(\xi_r(s)=\frac{1}{r^s}+ \frac{1}{(k+r)^s}+\frac{1}{(2k+r)^s}+\cdots (r=1,2,\dots,k),\) welche die Integraldarstellung gestatten: \(\xi_r(s)=\frac{i}{2\pi}\varGamma (1-s)\int (-x)^{s-1}\frac{e^{(k-r)x}}{e^{kx}-1}\,dx\). Auf Grund der letzten Darstellung erkennt man in \(\xi_r(s)\) eine ganze transcendente Function, so dass die über die letzteren Functionen vom Verf. aufgestellten Theoreme angewandt werden können. Insbesondere zeigt sich, dass man mit Functionen des Geschlechtes 1 zu thun hat. Der Verf. wendet sodann die gleichen Principien auf die (in Uebereinstimmung mit Dirichlet gebauten) Reihen an: \[ L_{\nu}(s)=\sum_ {n=1}^{\infty}\frac{\psi_{\nu}(n)}{n^s}=\varPi\frac{1}{1-\frac{\psi_{\tau} (q)}{q^s}}, \] wo \(q\) alle natürlichen Primzahlen durchlaufen soll und \(\psi_{\nu}\) eine zahlentheoretische Function ist, deren Definition sich nicht ganz kurz wiedergeben lässt.
Die von Riemann behaupteten Eigenschaften von \(\zeta(s)\) sind zwar noch nicht vollständig bewiesen. Aber die Ergebnisse genügen bereits, um die grundlegenden arithmetischen Folgerungen Riemann’s aus der Natur von \(\zeta(s)\) zu gewinnen. Diese Folgerungen werden in Gestalt einer Reihe von Sätzen aufgestellt, die die asymptotischen Werte der Summe der Logarithmen aller natürlichen Primzahlen \(<x,\) sowie einiger weiterer, ähnlich definirter Summen betreffen.

Reviewer: Fricke, Prof. (Braunschweig)

MSC:

11M06	\(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
11M26	Nonreal zeros of \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\); Riemann and other hypotheses
11N05	Distribution of primes

JFM Section:

Dritter Abschnitt. Niedere und höhere Arithmetik. Kapitel 2. Zahlentheorie. A. Allgemeines.

Keywords:

Riemann zeta-function; prime number theorem; primes; zeros of \(\zeta(s)\)