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On the number theory of quaternions. (Ueber die Zahlentheorie der Quaternionen.) (German) JFM 27.0162.01

Der Verf. überträgt die Begriffsbestimmungen und Sätze der Dedekind’schen Körper- und Idealtheorie auf das System der Quaternionen \(a=a_o+a_1i_1+a_2i_2+a_3i_3,\) wobei der Unterschied besteht, dass bei der Multiplication der Quaternionen das commutative Gesetz nicht gilt. Die Norm eines Quaternions ist durch \(N(a)=a_o^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2\) gegeben. Zum Quaternion \(a\) ist \(a'=a_o-a_1i_1-a_2i_2-a_3i_3\) conjugirt. Alle rationalen Quaternionen (solche mit rationalen Componenten \(a_k\)) bilden den Körper \(R\). Man gewinnt alle Permutationen von \(R,\) wenn man dem Quaternion \(a\) das Quaternion \(qaq^{-1}\) zuordnet, unter \(q\) ein beliebiges von O verschiedenes Quaternion verstanden; dabei ist \(q^{-1}=q' N(q)\). Sind die vier \(a_k\) zugleich ganzzahlig oder zugleich mit den Hälften ungerader Zahlen gleich, so heisst \(a\) ein “ganzes” Quaternion. Alle ganzen Quaternionen bilden den Integrationsbereich \(J,\) alle Quaternionen mit ganzzahligen Componenten \(J_o\). Es giebt in \(J\) 24 Einheiten: \(\varepsilon =\pm 1,\pm i_1,\pm i_2,\pm i_3,\frac{\pm 1\pm i_1\pm i_2\pm i_3}{2}\). Bei der Teilung hat man “rechtsseitige” und “linksseitige” Divisoren \(b\) eines ganzen Quaternions \(a\) zu unterscheiden; ein rechtsseitiger Divisor liegt vor, falls die Gleichung \(a=cb\) durch ein ganzes \(c\) befriedigt wird. Auch die Defintion des Ideals unterliegt dieser Complication gegenüber der gewöhnlichen Körpertheorie. Uebrigens gilt hier der einfache Satz, dass jedes Quaternionenideal ein Hauptideal ist. Um die Factorenzerlegung der Quaternionen zu leisten, werden dieselben zunächst mod.2 betrachtet. Es gilt der Satz: Ist \(2^r\) die höchste in \(N(a)\) aufgehende Potenz von 2, so gilt \(a=(1-i_1)^r.b,\) wo \(b\) ein ungerades Quaternion, d. i. ein solches von ungerader Norm ist. Die Einführung eines vollen Restsystems mod.2 führt weiter zum Begriff des “primären” Quaternions, wobei der Satz entspringt, dass unter je 24 associirten ungeraden Quaternionen stets eines primär ist. Dieser Umstand gestattet, die Zerlegungssätze beim alleinigen Gebrauch von primären Quaternionen eindeutig auszusprechen. Ein volles Restsystem ganzer Quaternionen bezüglich eines ungeraden Moduls \(m\) erweist sich genau isomorph zur Gruppe aller mod.\(m\) betrachteten ganzzahligen binären Substitutionen: \(x'_1 \equiv \alpha x_1+\beta x_2,\) \(x_2' \equiv \gamma x_1+\delta x_2\) (mod.\(m\)). Der Begriff des Primquaternions gestaltet sich in bekannter Weise; es gilt der Satz, dass es immer \((p+1)\) primäre Primquaternionen giebt, deren Norm gleich der ungeraden Primzahl \(p\) ist. Der Hauptsatz der Factorenzerlegung bezieht sich auf ungerade und “primitive” Quaternionen (bei denen die Componenten teilerfremd sind). Werden die Primfactoren der Norm eines solchen Quaternions in eine bestimmte Reihenfolge gebracht, so giebt es eine eindeutig bestimmte correspondirende Zerlegung des primitiven Quaternions in primäre Primquaternionen.
Als Anwendung löst der Verf. das von Euler gestellte Problem, alle ganzzahligen linearen quaternären Substitutionen zu finden, welche die quadratische Form \((x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2)\) in ein Multiplum ihrer selbst überführen.

MSC:

11E25 Sums of squares and representations by other particular quadratic forms
11R52 Quaternion and other division algebras: arithmetic, zeta functions
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Full Text: EuDML