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A problem on series. (Un problème sur les séries.) (French) JFM 27.0200.02
Nouv. Ann. (3) 15, 58-63 (1896).
Es soll die Summe der Reihe \[ \varPhi (x) = \frac {\varphi (1) x}{1} + \frac {\varphi (2) x^2}{2!} + \cdots +\frac {\varphi (n) x^n}{n!} + \cdots \] durch ein bestimmtes Integral ausgedrückt werden, wenn die Summe der Reihe \(F(x) = \varphi (1)x + \varphi (2)x^2 + \cdots + \varphi (n)x^n + \cdots\) bekannt ist.
Setzt man \(u = \frac {x}{a+zi},\) \(J = \int_{-\infty}^\infty F(u) e^{czi} dz,\) wo \(c\) und \(\varrho\) positive Constanten sind, \(a\) eine Constante bedeutet, deren reeller Bestandteil positiv ist, und \(| u | < \varrho\) ist, so ist \[ \varPhi (cx) = \frac {ce^{ac}}{2\pi}\;J, \quad \varPhi (x) = \frac {e^a}{2\pi}\;\int_{-\infty}^\infty F(u) e^{zi} dz. \] Ist nun \(F(u)\) eine beliebige holomorphe Function von \(u\) und \(F(0) = 0,\) so ist \(\sum_1^\infty \frac {F^n(0) x^n}{(n!)^2} = \frac {e^a}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty F(u) e^{zi} dz.\)
Setzt man \(w = 1/(a + zi),\) so gilt die Formel \[ \int_{-\infty}^{+\infty} F(w) e^{zxi} dz = \frac {2\pi}{xe^{ax}}\varPhi (x) \] für alle positiven Werte von \(x,\) für welche \(\varPhi (x)\) convergirt.
Ebenso ist die Formel \(\int_{-\infty}^\infty \psi (z) e^{zxi} dz = \frac {2\pi}{xe^{ax}} \sum_1^\infty\;\frac {\theta (n,a) x^n}{n!}\) für alle positiven Werte von \(x\) gültig, für welche die Reihe convergirt; \(\psi (z)\) bedeutet darin eine Function, die in jedem endlichen Intervall nur eine endliche Anzahl Maxima und Minima hat und für \(x = \pm \infty\) gegen Null convergirt; \(| u |\) sei hinreichend klein, der reelle Bestandteil von \(a\) positiv und \(\psi \left[ \left( a+\frac {1}{n} \right) i \right] = \sum_1^\infty \theta (n,a) u^n.\)
MSC:
40C10 Integral methods for summability
Full Text: EuDML