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Sur la définition de l’intégrale définie. (French) JFM 27.0230.02
Nouv. Ann. (3) 15, 495-502 (1896).
Die Function \(f(x)\) der reellen Veränderlichen \(x\) sei in dem Intervalle \(a\dots b\) \((a<b)\) definirt und nehme in demselben beständig zu. Fouché (siehe JFM 27.0230.01) bildet dann für unendlich viele Wertesysteme \(x_1, x_2, \dots, x_n,\) von denen jedes nur der Bedingung \(a<x_1<x_2<\cdots<x_n<b\) unterworfen ist, die durch die folgenden Gleichungen definirten Zahlen: \[ \begin{aligned} & \alpha = (x_1-a)f(a) + (x_2-x_1)f(x_1) + \cdots + (b-x_n)f(x_n),\\ & \beta = (x_1-a)f(x_1) +(x_2-x_1)f(x_2) +\cdots + (b-x_n)f(b). \end{aligned} \] Vereinigt man alle Zahlen \(\alpha\) zu einer Zahlenklasse und alle Zahlen \(\beta\) zu einer zweiten, so sind diese beiden Klassen benachbart, d. h. jede Zahl \(\alpha\) ist kleiner als jede Zahl \(\beta,\) und es lassen sich in beiden Klassen zwei Zahlen \(\alpha_h\) und \(\beta_k\) finden, so dass \(\beta_k- \alpha_h<\varepsilon\) ist, wo \(\varepsilon\) eine willkürlich gegebene positive Zahl ist. Beide Klassen bestimmen eine sie trennende Zahl \(A;\) diese ist der gemeinsame Grenzwert, gegen welchen die Zahlen \(\alpha\) und \(\beta\) convergiren, wenn die Differenz je zweier auf einander folgenden Werte von \(x, x_i-x_{i-1}\) der Null zustrebt. Folglich ist: \(\int_a^b f(x)dx = A.\) Nimmt die Function nicht von \(a\) bis \(b\) beständig zu (oder ab), ist sie aber in dem ganzen Intervalle stetig und endlich, so ist die vorstehende Definition noch brauchbar; nur muss man in den Definitionsgleichungen für \(\alpha\) und \(\beta\) die darin vorkommenden Werte der Function \(f(x)\) durch die Minimal- und Maximalwerte der Function \(f(x)\) in den Intervallen \(a\dots x_1, x_1\dots x_2, \dots, x_n\dots b\) ersetzen. Aus diesen Betrachtungen folgt unmittelbar, dass eine Function \(f(x)\) in einem Intervalle integrabel ist, wenn man dasselbe in eine endliche Anzahl von Teilintervallen zerlegen kann, in denen die Function entweder beständig zu- oder abnimmt oder stetig und endlich ist.
Burali-Forti’s Definition bedeutet, im Grunde genommen, nur eine kleine Verallgemeinerung der zuletzt besprochenen Modification der Fouché’schen Definition. An Stelle der Maximal- und Minimalwerte von \(f(x)\) in den Intervallen \(a\dots x_1, x_1\dots x_2, \dots, x_n\dots b\) treten die oberen und unteren Grenzwerte von \(f(x)\) in denselben. Bezeichnet man die so an Stelle von \(\beta\) und \(\alpha\) tretenden Zahlen mit \(s'\) und \(s_1,\) so besitzen, wenn \(f(x)\) selbst in dem Intervalle \(a\dots b\) eine obere und eine untere Grenze hat, die Zahlen \(s'\) eine bestimmte untere Grenze \(l_1 s'\) und die Zahlen \(s_1\) eine bestimmte obere Grenze \(l' s_1;\) ferner ist keine Zahl \(s'\) kleiner als irgend eine Zahl \(s_1.\) Die Function \(f(x)\) ist dann in dem Intervalle \(a\dots b\) integrabel, wenn \(l_1 s' = l' s_1\) ist. Hieraus ergeben sich aber wieder die beiden oben erwähnten Fälle, in denen \(f(x)\) in einem gegebenen Intervalle integrabel ist.

Full Text: EuDML