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Sopra le equazioni differenziali lineari del \(4^\circ\) ordine che divengono integrabili quando è noto un loro integrale particolare. (Italian) JFM 27.0257.01
Wenn eine lineare homogene nicht integrable Differentialgleichung dadurch integrabel wird, dass eines ihrer particulären Integrale bekannt ist, so sind folgende Fälle allein möglich: 1) Es existiren zwei Integrale der Form \(y_1 = ae^{\int_0^{x_{\varphi dx}}},\quad y_2 = ay_1 +b \int_0^x e^{\int_0^{x_{\psi dx}}} dx,\) wo \(a,b\) Constanten und \(\varphi\), \(\psi\) algebraische Functionen der Coefficienten sind. 2) Die Lagrange’sche Adjungirte hat drei Integrale \(z_1\), \(z_2\), \(z_3,\) die durch die Gleichung \(z_2^2 -z_1z_3 = ae^{\int_0^{x_{\varphi dx}}}\) verknüpft sind. 3) Die Gleichung ist durch Iteration einer algebraisch herstellbaren Differentialgleichung zweiter Ordnung zu erhalten. 4) Das allgemeine Integral ist die Summe der Integrale zweier algebraisch herstellbaren linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Zwischen vier Integralen eines Fundamentalsystems besteht eine Relation der Form \((y_1y_4 -y_2y_3)^2 -4(y_1y_3 -y_2^2) (y_2y_4 -y_3^2) = ae^{\int_0^{x_{\varphi dx}}},\) wo \(\varphi\) eine algebraische Function der Coefficienten ist.

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