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Démonstration de l’existence de l’intégrale d’une équation aux dérivées partielles linéaires. (French) JFM 27.0268.01
Es handelt sich um den Beweis der Existenz eines Integrals der Gleichung \(\frac {\partial z}{\partial x}+ \frac {\partial z}{\partial y} f(x,y) = 0,\) welches für \(x=x_0\) in \(y_0\) übergeht, unter der alleinigen Voraussetzung, dass für alle dem Gebiete \(| x-x_0| < \delta, | y-y_0| < {\mathbf \delta}\) angehörenden Werte von \(x\) und \(y\) die Functionen \(f(x,y)\) und \(f_y'(x,y)\) continuirlich sind. Nach dem Beweise von Cauchy existirt dann ein Integral der Differentialgleichung \(dy/dx = f(x,y), \, y = \psi(x,x_0,y_0),\) welches für \(x=x_0\) den Wert \(y_0\) annimmt. Von diesem Integral wird nun durch ein Approximationsverfahren gezeigt, dass es, als Function der Constanten \(x_0, y_0\) betrachtet, der Gleichung \(\frac {\partial y}{\partial x_0}+ \frac {\partial y}{\partial y_0} f(x_0,y_0) = 0\) genügt. Das allgemeine Integral dieser Gleichung, das für \(x_0=x\) sich auf \(\varphi (y_0)\) reducirt, wo \(\varphi\) eine beliebige Function bedeutet, erhält man, wenn man \(z = \varphi \left[ \psi(x,x_0,y_0)\right]\) setzt.

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Full Text: DOI Numdam EuDML