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Concerning transcendentally transcendental functions. (English) JFM 27.0307.01
Ist \({\mathfrak R}\left\{x\right\}\) ein functioneller Rationalitätsbereich, d. h. ein System von unendlich vielen Functionen von \(x,\) in welchem die Operationen der Addition, Subtraction, Multiplication und Division (abgesehen von der Division durch 0) unbeschränkt ausführbar sind, so heisst eine Function \(\varphi(x)\) bekanntlich algebraisch oder transcendent bezüglich \({\mathfrak R}\left\{ x\right\},\) je nachdem sie einer algebraischen Gleichung mit in \({\mathfrak R}\left\{ x\right\}\) liegenden Coefficienten genügt oder nicht. Der Verf. teilt nun die transcendenten Functionen wieder in zwei Kategorien ein, die er als “algebraical transcendental” und “transcendentally transcendental” functions unterscheidet. Die ersteren Functionen genügen einer algebraischen Differentialgleichung mit in \({\mathfrak R}\left\{ x\right\}\) liegenden Coefficienten, die letzteren Functionen genügen keiner solchen Differentialgleichung. Nach einigen grundlegenden allgemeinen Sätzen welche diese und einige weitere damit zusammenhängende Begriffsbildungen betreffen, beweist der Verf. insbesondere folgenden Satz:
“Die (nur für \(| x|<1\) existirende) Function \(\varphi(x)=\sum_{\nu=0}^{\nu=\infty}x^{a^\nu}\) (\(a\) eine ganze Zahl \(>1\)) genügt keiner algebraischen Differentialgleichung, deren Coefficienten rational in \(x\) und \(\log x\) sind.”
Die wesentliche Grundlage des Beweises bildet die Thatsache, dass \(\varphi(x)\) der Functionalgleichung \(\varphi(x^a) =\varphi(x)-x\) genügt. In dem letzten Teil seiner Abhandlung giebt der Verf. einen neuen Beweis für den Hölder’schen Satz, dem zufolge die \(\varGamma\)-Function keiner algebraischen Differentialgleichung genügt, deren Coefficienten rationale Functionen sind.

MSC:
34M15 Algebraic aspects (differential-algebraic, hypertranscendence, group-theoretical) of ordinary differential equations in the complex domain
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References:
[1] Mr. Weber (in his memoir:Die allgemeinen Grundlagen der Galois’schen Gleichungstheorie; Mathematische Annalen, vol. 43, pp. 521-549, November, 1893 ?and in his book:Lehrbuch der Algebra, vol. 1, pp. 441-460, 1895) denotes by the termKörper any closed system whatever of say (Grössen, Elemente or, as I prefer)marks capable of combination without ambiguity by addition, subtraction, multiplication and division (division by 0 alone excluded) in accordance with the ordinaryoperational identities of algebra. I propose the termfield as the English equivalent toKörper. [Indeed thefield of my paper:A doubly infinite system of simple groups: presented August 25, 1893 to the Chicago Congress on Mathematics was exactly Mr. Weber’sendlicher Körper]. · JFM 25.0137.01 · doi:10.1007/BF01446451
[2] Kronecker’s term isRationalitätsbereich (realm of rationality). Mr. Weber (Algebra, vol. I, p. 452) proposes to use this term instead of Körper (field) only when in a particular investigation the marks of the field are to be considered as known or rational. This is surely a desirable usage, and I follow it in using in these papers:Concerning transcendentally transcendental functions: the term realm of rationality.
[3] For the fundamental theorems concerning forms one may consult § 3 of Mr. Weber’s memoir cited above. · JFM 25.0137.01 · doi:10.1007/BF01446451
[4] See, for instance, for ?(x), Stäckel: Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen; Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 112, pp. 262-264, 1893. · doi:10.1515/crll.1893.112.262
[5] Jacobi: Ueber die Differentialgleichung, welcher die Reihen \(1 \pm 2q + 2q^4 \pm 2q^9 + etc.,2\sqrt[4]{q} + 2\sqrt[4]{{q^9 }} + 2\sqrt[4]{{q^{25} }} + etc.\) Genüge leisten; Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 36, pp. 97-112, 1834, or Gesammelte Werke, vol. II, pp. 173-190. · ERAM 036.1001cj
[6] Communicated to Mr. Schwarz by Kronecker in 1863. Schwarz: Ueber diejenigen Fälle in welchen die Gaussische hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt. Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 75, pp. 292-335, 1873, or Gesammelte Mathematische Abhandlungen, vol. II, p. 211-259. (See page 241.) · doi:10.1515/crll.1873.75.292
[7] Méray: Sur l’impossibilité de franchir par la formule de Taylor les cercles de convergence de certaines séries entières: Bulletin des Sciences mathématiques, series 2, vol. 12, pp. 248-252, 1888.
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